Use a 2^a parte do T.F.C. para calcular a integral, ou explique por que ela não existe:
(g) integral-4^2 2x^6 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de de -4 até 2, usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). O TFC conecta derivadas e integrais, então vamos precisar saber sobre antiderivadas e limites para ver se essa integral existe.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar achar uma antiderivada de integral x^n dx = x^n+1n+1 + C (quando n neq -1) . Uma antiderivada é uma função cuja derivada é a função que estamos integrando. Sabemos que:
integral 2x^-6 dx = 2 cdot x^-5-5 + C = -25x^-5 + C = -25x^5 + C
Aqui, pode ser escrita como . Então, aplicando a regra:

Passo 3

Agora, pela segunda parte do TFC, se integrala^b f(x) dx = F(b) - F(a) é uma antiderivada de integral-4^2 2x^6 dx = [ -25x^5 ]-4^2 = -25(2)^5 - ( -25(-4)^5 ) , então:
-25(2)^5 = -25 cdot 32 = -2160 = -180
Então, substituindo na nossa integral:
-25(-4)^5 = -25(-1024) = 25120 = 12560
Vamos calcular cada parte:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, juntando tudo:
-180 - ( 12560 ) = -180 - 12560
Para somar essas frações, precisamos de denominadores iguais. O mínimo múltiplo comum de 80 e 2560 é 2560. Então:
-322560 - 12560 = -332560

Resposta

A integral existe e o seu valor é .

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