Queremos descobrir se essa função é contínua e diferenciável em . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e diferenciabilidade, além de calcular limites e derivadas nas proximidades de .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é contínua em . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função naquele ponto.
Passo 3
Calculamos o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda ():
Passo 4
Agora, calculamos o limite de quando se aproxima de 1 pela direita ():
Passo 5
Como ambos os limites laterais são iguais a 1, e também , concluímos que a função é contínua em .
Passo 6
Agora, vamos verificar se é diferenciável em . Para isso, precisamos calcular as derivadas laterais da função em e verificar se elas são iguais.
Passo 7
Primeiro, calculamos a derivada pela esquerda ():
A derivada de é:
Portanto, .
Passo 8
Agora, calculamos a derivada pela direita (( x > 1 \ )):