Seja . é diferenciável em ? é contínua em ?

Passo 1

Vamos analisar a função definida por partes:
Queremos descobrir se essa função é contínua e diferenciável em . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e diferenciabilidade, além de calcular limites e derivadas nas proximidades de .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é contínua em . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função naquele ponto.

Passo 3

Calculamos o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):

Passo 4

Agora, calculamos o limite de quando se aproxima de 1 pela direita ( ):

Passo 5

Como ambos os limites laterais são iguais a 1, e também , concluímos que a função é contínua em .

Passo 6

Agora, vamos verificar se é diferenciável em . Para isso, precisamos calcular as derivadas laterais da função em e verificar se elas são iguais.

Passo 7

Primeiro, calculamos a derivada pela esquerda ( ):
A derivada de é:
Portanto, .

Passo 8

Agora, calculamos a derivada pela direita (( x > 1 \ )):
A derivada de é:
Portanto, .

Resposta

A função é contínua e diferenciável em .

Exercícios relacionados

Use a parte do T.F.C. para calcular a integral, ou explique por que ela não existe:
(g)
Resolva a Equação de Bernoulli
Seja . é diferenciável em ? é contínua em ?
Derive cada função abaixo (se possível, simplifique a função ou derivada)