Seja f(x) = { (3 - x) / 2, x < 1; 1 / raiz(x), x ≥ 1 }. f é diferenciável em x = 1 ? f é contínua em x = 1 ?

Passo 1

Vamos analisar a função definida por partes:
Queremos descobrir se essa função é contínua e diferenciável em . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e diferenciabilidade, além de calcular limites e derivadas nas proximidades de .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é contínua em . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função naquele ponto.

Passo 3

Calculamos o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):

Passo 4

Agora, calculamos o limite de quando se aproxima de 1 pela direita ( ):

Passo 5

Como ambos os limites laterais são iguais a 1, e também , concluímos que a função é contínua em .

Passo 6

Agora, vamos verificar se é diferenciável em . Para isso, precisamos calcular as derivadas laterais da função em e verificar se elas são iguais.

Passo 7

Primeiro, calculamos a derivada pela esquerda ( ):
A derivada de é:
Portanto, .

Passo 8

Agora, calculamos a derivada pela direita (( x > 1 \ )):
A derivada de é:
Portanto, .

Resposta

A função é contínua e diferenciável em .

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