Sejam e uma base ordenada de . Determine .

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer. Temos o espaço dos polinômios de grau até 3, , e uma base ordenada . Queremos encontrar as coordenadas do polinômio nessa base. Para isso, precisamos expressar o polinômio dado como uma combinação linear dos vetores da base .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o polinômio como uma combinação linear dos elementos da base . Ou seja, buscamos escalares , , , tais que:

Passo 3

Agora, vamos expandir os termos da base para simplificar a equação. Calculando cada termo:
Como nosso polinômio é de grau 2, o termo com deve ser zero. Portanto, substituindo na equação:

Passo 4

Agrupando os termos semelhantes e igualando aos coeficientes de :
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Substituindo na segunda equação:
  2. Substituindo e na terceira equação:
  3. Substituindo , e na quarta equação:

Resposta

A coordenada de na base é .

Exercícios relacionados

Sejam um espaço vetorial sobre com e um subconjunto não-vazio de . Mostre que as seguintes condições são equivalentes:
(a) é um conjunto independente maximal de , no seguinte sentido: não existe subconjunto de tal que ;
(b) é um conjunto minimal de geradores de , no seguinte sentido: não existe subconjunto de geradores de tal que ;
Escreva as equações a seguir na forma , determinando o centro e o raio das circunferências.
Resolva a equação de Bernoulli: .
Sejam e . Mostre que o conjunto é se, e somente se, o conjunto é , para todos , com .