Sejam V=P3(R) e beta=(1-x)^3,(1-x)^2, 1-x, 1 uma base ordenada de V. Determine [-x^2-2 x+3]beta.

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer. Temos o espaço dos polinômios de grau até 3, , e uma base ordenada . Queremos encontrar as coordenadas do polinômio nessa base. Para isso, precisamos expressar o polinômio dado como uma combinação linear dos vetores da base .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o polinômio p(x) = a(1 - x)^3 + b(1 - x)^2 + c(1 - x) + d como uma combinação linear dos elementos da base . Ou seja, buscamos escalares , , , tais que:

Passo 3

Agora, vamos expandir os termos da base para simplificar a equação. Calculando cada termo:
(1 - x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3 (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 1 - x = 1 - x 1 = 1
Como nosso polinômio a(-x^3 + 3x^2 - 3x + 1) + b(x^2 - 2x +1) + c(1 - x) + d = -x^2 - 2x + 3 é de grau 2, o termo com deve ser zero. Portanto, substituindo na equação:

Passo 4

Agrupando os termos semelhantes e igualando aos coeficientes de :
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Substituindo na segunda equação:
  2. Substituindo e na terceira equação:
  3. Substituindo , e na quarta equação:

Resposta

A coordenada de na base é .

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