Sejam
e
uma base ordenada de
. Determine
.
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer. Temos o espaço dos polinômios de grau até 3,
, e uma base ordenada
. Queremos encontrar as coordenadas do polinômio
nessa base. Para isso, precisamos expressar o polinômio dado como uma combinação linear dos vetores da base
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o polinômio
como uma combinação linear dos elementos da base
. Ou seja, buscamos escalares
,
,
,
tais que:
Passo 3
Agora, vamos expandir os termos da base para simplificar a equação. Calculando cada termo:
Como nosso polinômio
é de grau 2, o termo com
deve ser zero. Portanto, substituindo na equação:
Passo 4
Agrupando os termos semelhantes e igualando aos coeficientes de
:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações:
-
⇒ - Substituindo
na segunda equação: ⇒ - Substituindo
e na terceira equação: ⇒ ⇒ - Substituindo
, e na quarta equação: ⇒ ⇒
Resposta
A coordenada de
na base
é
.