Sejam
um espaço vetorial sobre
com
e
um subconjunto não-vazio de
. Mostre que as seguintes condições são equivalentes:
(a)
é um conjunto independente maximal de
, no seguinte sentido: não existe subconjunto
de
tal que
;
(b)
é um conjunto minimal de geradores de
, no seguinte sentido: não existe subconjunto de geradores
de
tal que
;
(a)
(b)
Passo 1
Resumo do Enunciado:
Temos um espaço vetorial sobre os reais (
), que não é apenas o vetor zero (
), e um conjunto
que não está vazio dentro de
. Precisamos mostrar que duas condições são equivalentes:
Temos um espaço vetorial
a)
é um conjunto independente maximal de
. Isso significa que não existe um conjunto maior que
que também seja independente.
b)
é um conjunto minimal de geradores de
. Isso quer dizer que não podemos remover nenhum vetor de
sem que o conjunto deixe de gerar todo o espaço
.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de independência linear, conjuntos de geradores e os conceitos de maximalidade e minimalidade nesses contextos.
Passo 2
Entendendo Conjuntos Independentes e Maximalidade:
Um conjunto de vetores é chamado de linearmente independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores do mesmo conjunto. Ou seja, os vetores são “indivisíveis” em termos de combinação linear.
Um conjunto de vetores é chamado de linearmente independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores do mesmo conjunto. Ou seja, os vetores são “indivisíveis” em termos de combinação linear.
Ser independente maximal significa que o conjunto é independente e que não há nenhum vetor extra em
que possa ser adicionado a
mantendo essa independência. Em outras palavras, não existe um conjunto maior que
que ainda seja independente.
Passo 3
Entendendo Conjuntos Geradores e Minimalidade:
Um conjunto de vetores é chamado de conjunto de geradores (ou gerador) de se todo vetor em
pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores desse conjunto. Basicamente, o conjunto “gera” todo o espaço.
Um conjunto de vetores é chamado de conjunto de geradores (ou gerador) de
Ser minimal gerador significa que o conjunto de geradores é o menor possível, ou seja, se removermos qualquer vetor de
, o conjunto resultante deixará de gerar todo o espaço
. Cada vetor em
é essencial para a geração do espaço.
Passo 4
Objetivo da Prova:
Queremos mostrar que as duas condições (a) e (b) são equivalentes. Para isso, vamos provar duas coisas:
Queremos mostrar que as duas condições (a) e (b) são equivalentes. Para isso, vamos provar duas coisas:
- Se
é um conjunto independente maximal, então é um conjunto minimal de geradores de . - Se
é um conjunto minimal de geradores de , então é um conjunto independente maximal.
Assim, estabelecemos a equivalência entre as duas condições.
Passo 5
Prova da Primeira Direção:
Assumimos que é um conjunto independente maximal. Queremos provar que
é um conjunto minimal de geradores de
.
Assumimos que
-
gera :
Senão gerasse todo o espaço , existiria pelo menos um vetor em que não pode ser escrito como combinação linear dos vetores em . Seja esse vetor . Então, poderíamos adicionar a , formando um conjunto maior que ainda seria independente (já que não depende dos vetores em ), o que contradiz a maximalidade da independência de . -
Minimalidade:
Suponha que existisse um vetor emque pudesse ser removido sem que o conjunto deixasse de gerar . Isso significaria que esse vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores em , o que contraria o fato de ser independente. Logo, cada vetor em é essencial para a geração de .
Passo 6
Prova da Segunda Direção:
Assumimos que é um conjunto minimal de geradores de
. Queremos provar que
é um conjunto independente maximal.
Assumimos que
-
é independente:
Senão fosse independente, então existiria pelo menos um vetor que pode ser escrito como combinação linear dos outros. Removendo esse vetor, ainda restaria um conjunto que gera , o que contradiz a minimalidade da geração de . -
Maximalidade da Independência:
Sabendo quegera , não podemos adicionar mais nenhum vetor a sem perder a independência. Se fosse possível adicionar um vetor mantendo a independência, então seria um conjunto maior que gera , contradizendo a minimalidade da geração de .
Resposta
Portanto, demonstramos que as condições (a) e (b) são equivalentes. Ou seja,
ser um conjunto independente maximal de
é equivalente a
ser um conjunto minimal de geradores de
.
Exercícios relacionados
Escreva as equações a seguir na forma
, determinando o centro e o raio das circunferências.
Resolva a equação de Bernoulli:
.
Sejam
e
uma base ordenada de
. Determine
.
Resolva a equação de Bernoulli:
.