Resolva a equação de Bernoulli: y^prime+2 y=3 y^2.

Passo 1

Beleza, temos a equação de Bernoulli: . Vamos resolver essa equação usando conceitos de equações diferenciais, especificamente a equação de Bernoulli. Para isso, vamos precisar fazer uma substituição que simplifique a equação e facilite a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar melhor os termos:
y' + 2y = 3y^2
Essa é uma equação diferencial do tipo Bernoulli, que tem a forma geral:
y' + P(x)y = Q(x)y^n
Aqui, , e .

Passo 3

Para resolver a equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação não linear em uma equação linear. Vamos definir:
v = y^1 - n = y^1 - 2 = y^-1
Então, temos:
v = 1y

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de v' = -y'y^2 em relação a y' = -y^2v' :
Reorganizando a equação original para expressar :

Passo 5

Substituindo -y^2v' + 2y = 3y^2 na equação original:
-v' + 2y = 3
Dividindo todos os termos por -v' + 2v = 3 :
Como , substituímos:

Passo 6

Agora, temos uma equação linear em v' - 2v = -3 :
mu(x) = e^integral -2 dx = e^-2x
Para resolver essa equação, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
e^-2xv' - 2e^-2xv = -3e^-2x
Isso simplifica para:
ddx(e^-2xv) = -3e^-2x

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a e^-2xv = integral -3e^-2x dx :
e^-2xv = 32e^-2x + C
v = 32 + Ce^2x
Onde é a constante de integração. Agora, isolamos :

Passo 9

Lembrando que 1y = 32 + Ce^2x , substituímos de volta:
y = 132 + Ce^2x
Finalmente, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação é:
y(x) = 132 + C e^2x
onde é uma constante arbitrária.

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