Resolva a equação de Bernoulli:
.
Passo 1
Beleza, temos a equação de Bernoulli:
. Vamos resolver essa equação usando conceitos de equações diferenciais, especificamente a equação de Bernoulli. Para isso, vamos precisar fazer uma substituição que simplifique a equação e facilite a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar melhor os termos:
Essa é uma equação diferencial do tipo Bernoulli, que tem a forma geral:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Para resolver a equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação não linear em uma equação linear. Vamos definir:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Reorganizando a equação original para expressar
:
Passo 5
Substituindo
na equação original:
Dividindo todos os termos por
:
Como
, substituímos:
Passo 6
Agora, temos uma equação linear em
:
Para resolver essa equação, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Agora, isolamos
:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante arbitrária.
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Resolva a equação
.
Mostre que
Seja
a matriz
Em cada parte, calcule a quantidade dada.
Seja
a matriz
Em cada parte, calcule a quantidade dada.
, onde