Resolva a equação do calor k partial^2 upartial x^2=partial upartial t(k>0 e 0 <= x <= L), quando
k=3, u(0, t)=u(L, t)=0, u(x, 0)=sen(2 pi xL)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação do calor que você me passou. A equação é com , nas condições de contorno e condição inicial . Vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser separada em duas funções: uma que depende apenas de e outra que depende apenas de . Ou seja, . Isso nos ajuda a simplificar a equação original.

Passo 3

Substituindo k d^2Xdx^2 T = X dTdt na equação do calor, temos:
k 1X d^2Xdx^2 = 1T dTdt = -lambda
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante que vamos determinar.

Passo 4

Agora, temos duas equações separadas:
  1. Para d^2Xdx^2 + lambdak X = 0 :
dTdt + lambda T = 0
  1. Para :
Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente.

Passo 5

Começando com a equação de d^2Xdx^2 + lambdak X = 0 :
Xn(x) = sin(npi xL)
Sabemos que as soluções dessa equação são funções trigonométricas quando . Considerando as condições de contorno , a solução é:
Onde é um número inteiro positivo.

Passo 6

Agora, para a equação de dTdt + lambda T = 0 :
Tn(t) = e^-lambda t
A solução dessa equação diferencial é:

Passo 7

A constante lambdan = (npiL)^2 k está relacionada aos modos de vibração e é dada por:
lambdan = 3(npiL)^2
Substituindo :

Passo 8

Finalmente, combinando u(x, t) = sumn=1^infty Bn sin(npi xL) e^-3(npiL)^2 t e , a solução geral é uma soma de todas as soluções possíveis:
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o coeficiente .

Passo 9

Comparando a condição inicial com a solução geral, percebemos que apenas o termo com u(x, 0) = B2 sin(2pi xL) = sin(2pi xL) está presente:
Portanto, e todos os outros .

Resposta

A solução da equação do calor é:
u(x, t) = sin(2pi xL) e^-12pi^2 t / L^2

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