Resolva a equação do calor
e
, quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação do calor que você me passou. A equação é
com
, nas condições de contorno
e condição inicial
. Vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser separada em duas funções: uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
. Ou seja,
. Isso nos ajuda a simplificar a equação original.
Passo 3
Substituindo
na equação do calor, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é uma constante que vamos determinar.
Passo 4
Agora, temos duas equações separadas:
- Para
:
- Para
:
Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente.
Passo 5
Começando com a equação de
:
Sabemos que as soluções dessa equação são funções trigonométricas quando
. Considerando as condições de contorno
, a solução é:
Onde
é um número inteiro positivo.
Passo 6
Agora, para a equação de
:
A solução dessa equação diferencial é:
Passo 7
A constante
está relacionada aos modos de vibração e é dada por:
Substituindo
:
Passo 8
Finalmente, combinando
e
, a solução geral é uma soma de todas as soluções possíveis:
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o coeficiente
.
Passo 9
Comparando a condição inicial com a solução geral, percebemos que apenas o termo com
está presente:
Portanto,
e todos os outros
.
Resposta
A solução da equação do calor é: