Resolva a equação diferencia:
dy/dt = sen(2t)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que temos aqui. Temos uma equação diferencial onde a derivada de em relação a é igual a . Isso envolve o conteúdo de equações diferenciais ordinárias, especificamente equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar integração, que é o processo inverso da diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
Para encontrar , precisamos integrar ambos os lados da equação em relação a . A integração vai nos dar a função original cuja derivada é .

Passo 3

Vamos integrar o lado direito:
Lembrando que a integral de em relação a é , onde é uma constante e é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando essa regra, temos:

Passo 5

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:

Resposta

Exercícios relacionados

Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) abaixo:
d y/d t + (1 - 2 t) y = t e^(-1) y(0) = 2
Use o exercício anterior para encontrar a solução geral das equações:
x^2 y'' + 4 x y' + 2 y = 0.
[Resp: (a) Eq. indicial: r^2 - 4r + 4 = 0, raizes da equação indicial repetidas r1 = r2 = 2 logo y1(x) = x^2, y2(x) = x^2 ln x, formam um conjunto fundamental de soluções para x > 0 e portanto a solução geral é ygh = c1 * x^2 + c2 * x^2 * ln(x).
(b) Eq. indicial: r^2 + 2*r + 5 = 0, raizes da equação indicial complexas r1 = -1 + 2i, r2 = -1 - 2i logo y1(x) = x^(-1) cos(2 ln x), y2(x) = x^(-1) * sen(2 * ln(x)), formam um conjunto fundamental de soluções para x > 0 e portanto a solução geral é ygh = c1 * (1/x) * cos(2 * ln(x)) + c2 * (1/x) * sen(2 * ln(x)).
© Eq. indicial: r^2 + 3r + 2 = 0, raizes da equação indicial reais distintas r1 = -1, r2 = -2 logo y1(x) = x^(-1), y2(x) = x^(-2), formam um conjunto fundamental de soluções para x > 0 e portanto a solução geral é ygh = c1 / x + c2 / x^2.]
Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) abaixo:
d y/d t - 2 t y = t y(0) = 1
Resolva a equação diferencial:
d y/d t + 2/t y = t