Resolva a equação diferencial:
d y/d t + 2/t y = t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares.

Passo 2

Identificamos que a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Onde:

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral:
Portanto:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Isolamos para encontrar a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) abaixo:
d y/d t - 2 t y = t y(0) = 1
Resolva a equação diferencia:
dy/dt = sen(2t)
Resolva a equação diferencial abaixo:
(1+t^2) dy/dt + t y = (1+t^2)^(5/2)
Classifique as equações diferenciais abaixo quanto a sua ordem e linearidade conforme modelo abaixo:
Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem Linear
d^3y/dt^3 = e^(-y) + t + d^2y/dt^2