Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) abaixo:
d y/d t - 2 t y = t y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) que a gente tem aqui. A equação que precisamos resolver é:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a transformar a equação em uma forma que seja mais fácil de integrar e encontrar a solução para .

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
Comparando com a nossa equação original:
vemos que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação diferencial.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
A ideia aqui é que o lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto .

Passo 5

Vamos escrever o lado esquerdo como a derivada de :
Agora, para encontrar , vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente .

Passo 6

Agora, resolvemos a integral do lado direito:
Fazendo uma substituição simples , temos , ou seja, . Assim:
Portanto:

Passo 7

Vamos isolar dividindo ambos os lados por :
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de .

Passo 8

Substituindo e na equação:
Resolvendo para :

Resposta

A solução do Problema de Valor Inicial é:

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Resolva a equação diferencia:
dy/dt = sen(2t)
Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) abaixo:
d y/d t + (1 - 2 t) y = t e^(-1) y(0) = 2
Resolva a equação diferencial:
d y/d t + 2/t y = t
Resolva a equação diferencial abaixo:
(1+t^2) dy/dt + t y = (1+t^2)^(5/2)