Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) que a gente tem aqui. A equação que precisamos resolver é:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a transformar a equação em uma forma que seja mais fácil de integrar e encontrar a solução para
.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
Comparando com a nossa equação original:
vemos que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação diferencial.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
A ideia aqui é que o lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto
.
Passo 5
Vamos escrever o lado esquerdo como a derivada de
:
Agora, para encontrar
, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
.
Passo 6
Agora, resolvemos a integral do lado direito:
Fazendo uma substituição simples
, temos
, ou seja,
. Assim:
Portanto:
Passo 7
Vamos isolar
dividindo ambos os lados por
:
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Passo 8
Substituindo
e
na equação:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do Problema de Valor Inicial é:
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencia:
Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) abaixo:
Resolva a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial abaixo: