Resolva a equação diferencial abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que o enunciado nos deu:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante. Então, vamos passo a passo entender e resolver essa equação juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos todos os termos por
:
Então, identificamos que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
. Então:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 4
Com o fator integrante em mãos, multiplicamos toda a equação diferencial original por
:
Simplificando:
Note que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Vamos calcular a integral no lado direito:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na equação:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Podemos simplificar a expressão para torná-la mais elegante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
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