Resolva a equação diferencial abaixo:
(1+t^2) dy/dt + t y = (1+t^2)^(5/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que o enunciado nos deu:
(1+t^2) dy/dt + t y = (1+t^2)^(5/2)
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante. Então, vamos passo a passo entender e resolver essa equação juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos todos os termos por :
Então, identificamos que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Então:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 4

Com o fator integrante em mãos, multiplicamos toda a equação diferencial original por :
Simplificando:
Note que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Vamos calcular a integral no lado direito:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na equação:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :
Podemos simplificar a expressão para torná-la mais elegante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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