Resolva a equação diferencial abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que resolver a equação diferencial:
Estamos lidando com uma equação diferencial exata. Para resolver esse tipo de equação, precisamos verificar se a equação é exata e, em seguida, encontrar uma função potencial que satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação:
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação diferencial é exata.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
que surge da integração.
Passo 4
Para determinar
, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos, temos:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 5
Agora, substituímos
na função potencial
:
A solução geral da equação diferencial é dada por
. Portanto:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva o problema de valor incial abaixo:
Classifique as equações diferenciais abaixo quanto a sua ordem e linearidade conforme modelo abaixo:
Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem Linear
Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem Linear
O índice I de temperatura-umidade (ou simplesmente humidex) é a temperatura aparente do ar quando a temperatura real é
e a umidade relativa é
, de modo que podemos escrever
. A tabela seguinte com valores de
foi extraída de uma tabela do Environment Canada.
TABELA 3
TABELA 3
Umidade relativa(%) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
|
20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
20 | 20 | 20 | 20 | 21 | 22 | 23 |
25 | 25 | 25 | 26 | 28 | 30 | 32 |
30 | 30 | 31 | 34 | 36 | 38 | 41 |
35 | 36 | 39 | 42 | 45 | 48 | 51 |
40 | 43 | 47 | 51 | 55 | 59 | 63 |
Temperatura aparente como função da temperatura e da umidade
(a) Qual é o valor de ? Qual é o seu significado?
(a) Qual é o valor de
Seja
.
(a) Calcule .
(a) Calcule