Resolva a equação diferencial abaixo:
(3 t^2 y - 4 y^3 t) + (t^3 - 6 t^2 y^2 - 3) dy/dt = 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que resolver a equação diferencial:
Estamos lidando com uma equação diferencial exata. Para resolver esse tipo de equação, precisamos verificar se a equação é exata e, em seguida, encontrar uma função potencial que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação:
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação diferencial é exata.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial tal que:
Integramos em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária de que surge da integração.

Passo 4

Para determinar , diferenciamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos, temos:
Integrando em relação a :
Onde é uma constante de integração.

Passo 5

Agora, substituímos na função potencial :
A solução geral da equação diferencial é dada por . Portanto:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
onde é uma constante arbitrária.

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O índice I de temperatura-umidade (ou simplesmente humidex) é a temperatura aparente do ar quando a temperatura real é T e a umidade relativa é h, de modo que podemos escrever I = f(T, h). A tabela seguinte com valores de I foi extraída de uma tabela do Environment Canada.
TABELA 3
Umidade relativa(%)
T^h 20 30 40 50 60 70
20 20 20 20 21 22 23
25 25 25 26 28 30 32
30 30 31 34 36 38 41
35 36 39 42 45 48 51
40 43 47 51 55 59 63
Temperatura aparente como função da temperatura e da umidade
(a) Qual é o valor de f(35, 60) ? Qual é o seu significado?
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(a) Calcule g(2, -1).