Resolva o problema de valor incial abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial que relaciona
e
, e precisa encontrar a função
que satisfaz essa relação. Vamos usar conceitos de equações diferenciais separáveis e técnicas de integração para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial dada:
Podemos fatorar
no denominador:
Agora, a equação fica:
Passo 3
Essa equação é separável, ou seja, conseguimos separar as variáveis
e
de lados opostos da equação. Vamos multiplicar ambos os lados por
e
:
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Passo 4
Vamos resolver as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito, fazemos a substituição
, então
:
Igualando as duas integrais:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos isolar
:
Podemos renomear
como apenas
:
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Substituindo
na equação de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Classifique as equações diferenciais abaixo quanto a sua ordem e linearidade conforme modelo abaixo:
Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem Linear
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Classifique as equações diferenciais abaixo quanto a sua ordem e linearidade conforme modelo abaixo:
Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem Linear
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Resolva a equação diferencial abaixo:
O índice I de temperatura-umidade (ou simplesmente humidex) é a temperatura aparente do ar quando a temperatura real é
e a umidade relativa é
, de modo que podemos escrever
. A tabela seguinte com valores de
foi extraída de uma tabela do Environment Canada.
TABELA 3
TABELA 3
Umidade relativa(%) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
|
20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
20 | 20 | 20 | 20 | 21 | 22 | 23 |
25 | 25 | 25 | 26 | 28 | 30 | 32 |
30 | 30 | 31 | 34 | 36 | 38 | 41 |
35 | 36 | 39 | 42 | 45 | 48 | 51 |
40 | 43 | 47 | 51 | 55 | 59 | 63 |
Temperatura aparente como função da temperatura e da umidade
(a) Qual é o valor de ? Qual é o seu significado?
(a) Qual é o valor de