Resolva o problema de valor inicial.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial que envolve derivadas e uma condição inicial
. O conteúdo aqui é Equações Diferenciais, especificamente de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar arrumar a equação na forma padrão e usar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão de uma equação linear. A equação que temos é:
Vamos dividir tudo por
(supondo que
) para isolar
:
Agora, está na forma:
onde
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante (
) é dado por:
Substituindo
:
Como estamos trabalhando com
, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Simplificando:
Usando a condição inicial
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial é:
Exercícios relacionados
Resolva o problema de valor inicial.
.
Resolva a equação diferencial com condição inicial.
.
Resolva o problema de valor inicial.
.
Resolva as equações diferenciais não homogêneas:
.