Resolva o problema de valor inicial.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial que envolve derivadas e uma condição inicial . O conteúdo aqui é Equações Diferenciais, especificamente de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar arrumar a equação na forma padrão e usar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão de uma equação linear. A equação que temos é:
Vamos dividir tudo por (supondo que ) para isolar :
Agora, está na forma:
onde e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante ( ) é dado por:
Substituindo :
Como estamos trabalhando com , podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :
Integrando ambos os lados:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos resolver para :
Simplificando:
Usando a condição inicial :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial é:

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Resolva as equações diferenciais não homogêneas:
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