Resolva a equação diferencial de segunda ordem homogênea:
y'' - 4y' + 4y = 0
Dada a condição inicial y(0) = 1 e y'(0) = 0.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea:
Com as condições iniciais y(0) = 1 e . Para isso, precisamos usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos y por , o que nos dá:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica . Calculamos o discriminante Delta:
Como o discriminante é zero, temos raízes reais e iguais. Calculamos a raiz:

Passo 4

Com a raiz dupla , a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, usamos y(0) = 1:
Segundo, calculamos a derivada de y(x) para aplicar :
Aplicando x = 0:

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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