Resolva a equação diferencial de segunda ordem homogênea:
Dada a condição inicial
e
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea:
Com as condições iniciais
e
. Para isso, precisamos usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos
por
, o que nos dá:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica
. Calculamos o discriminante
:
Como o discriminante é zero, temos raízes reais e iguais. Calculamos a raiz:
Passo 4
Com a raiz dupla
, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, usamos
:
Segundo, calculamos a derivada de
para aplicar
:
Aplicando
:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: