Resolva a seguinte equação diferencial utilizando separação de variáveis:
Suponha que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial . Esse tipo de problema está relacionado a equações diferenciais de separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e em lados opostos da equação e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . A equação dada é:
Dividimos ambos os lados por para isolar em termos de :
Agora, multiplicamos ambos os lados por para separar as variáveis:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos começar com a integral do lado esquerdo:
A integral de em relação a é o logaritmo natural de :
Agora, a integral do lado direito:
A integral de em relação a é :

Passo 4

Agora, igualamos as duas integrais e combinamos as constantes de integração:
Onde é uma constante geral.

Passo 5

Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo aplicando a exponenciação em ambos os lados:
Simplificando o lado esquerdo:
Podemos escrever como uma nova constante , então:
Como pode ser positivo ou negativo, podemos remover o valor absoluto:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:
Sabemos que , então:
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva a equação diferencial de segunda ordem homogênea:
Dada a condição inicial e .
Resolva a equação diferencial de crescimento populacional:
Onde e .
Verifique se a seguinte equação é exata e, se for, resolva-a:
Use o método de variação de parâmetros para resolver a equação: