Resolva a seguinte equação diferencial utilizando separação de variáveis:
Suponha que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Esse tipo de problema está relacionado a equações diferenciais de separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
em lados opostos da equação e então integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. A equação dada é:
Dividimos ambos os lados por
para isolar
em termos de
:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para separar as variáveis:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos começar com a integral do lado esquerdo:
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural de
:
Agora, a integral do lado direito:
A integral de
em relação a
é
:
Passo 4
Agora, igualamos as duas integrais e combinamos as constantes de integração:
Onde
é uma constante geral.
Passo 5
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a exponenciação em ambos os lados:
Simplificando o lado esquerdo:
Podemos escrever
como uma nova constante
, então:
Como
pode ser positivo ou negativo, podemos remover o valor absoluto:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Sabemos que
, então:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial de segunda ordem homogênea:
Dada a condição inicial
e
.
Resolva a equação diferencial de crescimento populacional:
Onde
e
.
Verifique se a seguinte equação é exata e, se for, resolva-a:
Use o método de variação de parâmetros para resolver a equação: