Resolva a seguinte equação diferencial:
d yd x+1x y=1x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
d yd x+1x y=1x^2
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, precisamos usar o método do fator integrante. Isso ajuda a simplificar a equação para que possamos encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação:
d yd x + P(x) y = Q(x)
No nosso caso:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular a integral de integral 1x dx = ln|x| :
mu(x) = e^ln|x| = x
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante x cdot d yd x + x cdot 1x y = x cdot 1x^2 :
x d yd x + y = 1x
Simplificando:

Passo 5

Com o fator integrante aplicado, a equação pode ser reescrita como uma derivada:
dd x (x y) = 1x
Isso acontece porque:
dd x (x y) = x d yd x + y
Que é exatamente o que temos na equação.

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a integral dd x (x y) dx = integral 1x dx :
x y = ln|x| + C
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, isolamos y = ln|x| + Cx para encontrar a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = ln|x| + Cx

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