Resolva a equação diferencial dada por Cauchy-Euler:
25 x^2 y'' + 25 x y' + y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Cauchy-Euler que você me mandou:

Esse tipo de equação pertence à matéria de Equações Diferenciais, especificamente as equações de Cauchy-Euler. Para resolver, vamos precisar assumir uma solução do tipo e encontrar o valor de m que satisfaz a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução tem a forma . Essa é uma técnica comum para equações de Cauchy-Euler porque nos permite transformar a equação diferencial em uma equação algébrica.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de y. Se , então:

Passo 4

Substituímos y, , e na equação original:

Passo 5

Simplificamos os termos:

Passo 6

Fatoramos :

Passo 7

Como nunca é zero para x != 0, podemos igualar o termo entre colchetes a zero:

Passo 8

Expandimos e simplificamos a equação:

Passo 9

Resolvemos a equação quadrática para m:

Aqui, i é a unidade imaginária, já que a solução envolve raízes complexas.

Passo 10

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:

Onde e á das raízes. No nosso caso, e .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Onde e são constantes arbitrárias.

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