Resolva a equação diferencial dada por Cauchy-Euler:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Cauchy-Euler que você me mandou:
Esse tipo de equação pertence à matéria de Equações Diferenciais, especificamente as equações de Cauchy-Euler. Para resolver, vamos precisar assumir uma solução do tipo
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução tem a forma
. Essa é uma técnica comum para equações de Cauchy-Euler porque nos permite transformar a equação diferencial em uma equação algébrica.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
. Se
, então:
Passo 4
Substituímos
,
, e
na equação original:
Passo 5
Simplificamos os termos:
Passo 6
Fatoramos
:
Passo 7
Como
nunca é zero para
, podemos igualar o termo entre colchetes a zero:
Passo 8
Expandimos e simplificamos a equação:
Passo 9
Resolvemos a equação quadrática para
:
Aqui,
Passo 10
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
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