Resolva as equações diferenciais pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo é resolver essa equação utilizando o método da variação dos parâmetros. Para isso, precisamos conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares e o método da variação dos parâmetros, que nos ajuda a encontrar uma solução particular quando o lado direito da equação não é simples.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, encontramos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 3

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houverem.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. A ideia é assumir que a solução particular tem a forma:
Onde e são funções que precisamos determinar.

Passo 5

Calculamos as derivadas de :
Para simplificar os cálculos, impomos a condição:
Isso nos ajuda a reduzir a equação a um sistema mais fácil de resolver.

Passo 6

Substituindo e suas derivadas na equação original e utilizando a condição acima, obtemos:
Simplificando:

Passo 7

Agora, resolvemos o sistema de equações:
Multiplicamos a primeira equação por e a segunda por , somando-as para encontrar :
Então:
Onde é uma constante de integração que podemos ignorar para a solução particular.

Passo 8

Substituindo na primeira equação:
Integrando:
Usando a identidade :
Mais uma vez, ignoramos a constante de integração para a solução particular.

Passo 9

Então, a solução particular é:
Simplificando:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Essa solução é válida no intervalo onde , ou seja, , onde é inteiro.

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