Resolva as equações diferenciais pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo é resolver essa equação utilizando o método da variação dos parâmetros. Para isso, precisamos conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares e o método da variação dos parâmetros, que nos ajuda a encontrar uma solução particular quando o lado direito da equação não é simples.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, encontramos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 3
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houverem.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. A ideia é assumir que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são funções que precisamos determinar.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Para simplificar os cálculos, impomos a condição:
Isso nos ajuda a reduzir a equação a um sistema mais fácil de resolver.
Passo 6
Substituindo
e suas derivadas na equação original e utilizando a condição acima, obtemos:
Simplificando:
Passo 7
Agora, resolvemos o sistema de equações:
Multiplicamos a primeira equação por
e a segunda por
, somando-as para encontrar
:
Então:
Onde
é uma constante de integração que podemos ignorar para a solução particular.
Passo 8
Substituindo
na primeira equação:
Integrando:
Usando a identidade
:
Mais uma vez, ignoramos a constante de integração para a solução particular.
Passo 9
Então, a solução particular é:
Simplificando:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Essa solução é válida no intervalo onde
, ou seja,
, onde
é inteiro.
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