Resolva as equações diferenciais pelo método de coeficientes a determinar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de quarta ordem que você me passou:
Aqui, a gente vai usar o método dos coeficientes a determinar. Isso envolve encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação completa. Vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e como achar soluções particulares para termos polinomiais no lado direito.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente assume uma solução da forma
e substitui na equação para encontrar os valores de
que satisfazem a equação característica.
Passo 3
Vamos montar a equação característica substituindo
:
Agora, precisamos resolver essa equação polinomial para encontrar os valores de
.
Passo 4
Observando a equação
, podemos notar que ela é uma equação quadrática em termos de
. Vamos fazer a substituição
:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então,
, o que nos dá:
Passo 5
Como temos raízes complexas simples
e
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos propor uma solução particular da forma:
Onde
,
e
são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 7
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Agora, igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
-
Coeficiente de
:
-
Coeficiente de
:
-
Termo constante:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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