Resolva as equações diferenciais pelo método de coeficientes a determinar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de quarta ordem que você me passou:
Aqui, a gente vai usar o método dos coeficientes a determinar. Isso envolve encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação completa. Vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e como achar soluções particulares para termos polinomiais no lado direito.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente assume uma solução da forma e substitui na equação para encontrar os valores de que satisfazem a equação característica.

Passo 3

Vamos montar a equação característica substituindo :
Agora, precisamos resolver essa equação polinomial para encontrar os valores de .

Passo 4

Observando a equação , podemos notar que ela é uma equação quadrática em termos de . Vamos fazer a substituição :
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, , o que nos dá:

Passo 5

Como temos raízes complexas simples e , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos propor uma solução particular da forma:
Onde , e são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 7

Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
Agora, igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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Encontre a solução geral para cada equação diferencial: