Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que resolver a equação diferencial de segunda ordem:
Isso faz parte da matéria de equações diferenciais lineares não homogêneas, e vamos usar o método dos coeficientes a determinar para achar a solução. Precisamos separar a solução geral em duas partes: a solução da equação homogênea e a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica.

Passo 3

Escrevemos a equação característica substituindo por e por 1:
Resolvendo para :

Passo 4

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular ( ) da equação não homogênea:
Como o lado direito é da forma , vamos assumir que a solução particular tem a forma:
Onde , e são coeficientes que vamos determinar.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 7

Substituímos e suas derivadas na equação diferencial original:
Simplificando:

Passo 8

Igualamos isso ao lado direito da equação original:
Para isso ser válido para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:

Passo 9

Resolvendo o sistema de equações:
  1. De :
  1. Substituindo na segunda equação:
  1. Substituindo e na terceira equação:

Passo 10

Agora que temos os valores de , e , a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Use a Regra da Cadeia para achar ou .
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes a determinar.
Use o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular para .