Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que resolver a equação diferencial de segunda ordem:
Isso faz parte da matéria de equações diferenciais lineares não homogêneas, e vamos usar o método dos coeficientes a determinar para achar a solução. Precisamos separar a solução geral em duas partes: a solução da equação homogênea e a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica.
Passo 3
Escrevemos a equação característica substituindo por e por 1:
Resolvendo para :
Passo 4
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular () da equação não homogênea:
Como o lado direito é da forma , vamos assumir que a solução particular tem a forma:
Onde , e são coeficientes que vamos determinar.
Passo 6
Calculamos as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituímos e suas derivadas na equação diferencial original:
Simplificando:
Passo 8
Igualamos isso ao lado direito da equação original:
Para isso ser válido para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
Passo 9
Resolvendo o sistema de equações:
De :
Substituindo na segunda equação:
Substituindo e na terceira equação:
Passo 10
Agora que temos os valores de , e , a solução particular é: