Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
y^prime prime-6 y^prime-7 y=-9 e^-2 x, y(0)=-2, y^prime(0)=13 Resp: y=e^-x-2 e^7 x-e^-2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é do tipo não homogênea. A equação que temos é:
y'' - 6y' - 7y = -9e^-2x
Além disso, temos as condições iniciais:
y(0) = -2 e y'(0) = 13
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais homogêneas e particulares, resolução de equações características e aplicação das condições iniciais para encontrar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - 6y' - 7y = 0
Para isso, montamos a equação característica substituindo y por e^rx:
r^2 - 6r - 7 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os valores de r.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática r^2 - 6r - 7 = 0, usamos a fórmula de Bhaskara:
r = 6 pm raiz36 + 282 = 6 pm raiz642 = 6 pm 82
Então, temos duas raízes:
r1 = 6 + 82 = 7 e r2 = 6 - 82 = -1

Passo 4

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^7x + C2 e^-x
Aqui, C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
y'' - 6y' - 7y = -9e^-2x
Como o lado direito é -9e^-2x, vamos supor uma solução particular da forma:
yp = Ae^-2x
Onde A é uma constante que vamos determinar.

Passo 6

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = -2Ae^-2x
yp'' = 4Ae^-2x
Substituímos yp, yp' e yp'' na equação original:
4Ae^-2x - 6(-2Ae^-2x) - 7Ae^-2x = -9e^-2x
Simplificando:
4Ae^-2x + 12Ae^-2x -7Ae^-2x = -9e^-2x
(4A + 12A - 7A)e^-2x = -9e^-2x
9A e^-2x = -9e^-2x

Passo 7

Igualando os coeficientes:
9A = -9 Rightarrow A = -1
Então, a solução particular é:
yp = -e^-2x

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 e^7x + C2 e^-x - e^-2x

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar C1 e C2.
Primeiro, para x = 0, temos:
y(0) = C1 e^0 + C2 e^0 - e^0 = C1 + C2 - 1 = -2
Então:
C1 + C2 = -1 (Equação 1) çã

Passo 10

Agora, calculamos a derivada de y:
y' = 7C1 e^7x - C2 e^-x + 2e^-2x
Aplicando x = 0:
y'(0) = 7C1 - C2 + 2 = 13
Então:
7C1 - C2 = 11 (Equação 2) çã

Passo 11

Resolvemos o sistema de Equações 1 e 2:
C1 + C2 = -1 7C1 - C2 = 11
Somando as duas equações:
8C1 = 10 Rightarrow C1 = 108 = 54
Substituindo C1 na Equação 1:
54 + C2 = -1 Rightarrow C2 = -1 - 54 = -94

Passo 12

Agora que temos os valores de C1 e C2, substituímos na solução geral:
y = 54 e^7x - 94 e^-x - e^-2x
Para simplificar, podemos escrever:
y = e^-x - 2e^7x - e^-2x

Resposta

y = e^-x - 2 e^7x - e^-2x

Exercícios relacionados