Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
Resp:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é do tipo não homogênea. A equação que temos é:
Além disso, temos as condições iniciais:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais homogêneas e particulares, resolução de equações características e aplicação das condições iniciais para encontrar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo por :
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os valores de .

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática , usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:

Passo 4

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Como o lado direito é , vamos supor uma solução particular da forma:
Onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :
Substituímos , e na equação original:
Simplificando:

Passo 7

Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para , temos:
Então:
çã

Passo 10

Agora, calculamos a derivada de :
Aplicando :
Então:
çã

Passo 11

Resolvemos o sistema de Equações 1 e 2:
Somando as duas equações:
Substituindo na Equação 1:

Passo 12

Agora que temos os valores de e , substituímos na solução geral:
Para simplificar, podemos escrever:

Resposta

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Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes a determinar.
. Resp:
Utilize a equação de Poisson para encontrar o potencial gravitacional de uma distribuição esférica uniforme de raio R nos seguintes pontos: a) ponto externo à distribuição; b) dentro da distribuição. Utilize o laplaciano em coordenadas esféricas e considere de como condições de contorno o potencial nulo no infinito, contínuo na borda e não divergente na origem.
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas: