Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é do tipo não homogênea. A equação que temos é:
Além disso, temos as condições iniciais:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais homogêneas e particulares, resolução de equações características e aplicação das condições iniciais para encontrar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os valores de
.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:
Passo 4
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Como o lado direito é
, vamos supor uma solução particular da forma:
Onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 9
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
, temos:
Então:
Passo 10
Agora, calculamos a derivada de
:
Aplicando
:
Então:
Passo 11
Resolvemos o sistema de Equações 1 e 2:
Somando as duas equações:
Substituindo
na Equação 1:
Passo 12
Agora que temos os valores de
e
, substituímos na solução geral:
Para simplificar, podemos escrever:
Resposta
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. Resp:
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Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
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