Resolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja, y(x) != 0, para isso, determine o valor da contante k.
y'' + k y = 0
y(0) = 0
y'(\pi/2) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial y'' + k y = 0 com duas condições: y(0) = 0 e y'(\pi/2) = 0. Nosso objetivo é encontrar o valor da constante k de modo que a solução não seja trivial, ou seja, que y(x) não seja sempre zero. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e aplicar as condições de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea y'' + k y = 0. A forma geral da solução depende do valor de k. Vamos considerar três casos:
  1. k > 0: As soluções são combinações de funções seno e cosseno.
  2. k = 0: A equação se simplifica para y'' = 0, cuja solução é uma função linear.
  3. k < 0: As soluções envolvem funções exponenciais.
Como queremos soluções não triviais, vamos focar no caso onde k > 0, pois é o mais interessante para obter funções oscilatórias.

Passo 3

Assumindo que k > 0, podemos escrever k como k = ω², onde ω é uma frequência angular positiva. A solução geral da equação fica:
Aqui, A e B são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 4

Agora vamos aplicar a primeira condição de contorno: y(0) = 0. Substituindo x = 0 na solução geral:
Como y(0) = 0, então A = 0. A solução simplifica para:

Passo 5

Com a solução simplificada, vamos aplicar a segunda condição de contorno: y'(\pi/2) = 0. Primeiro, vamos encontrar a derivada de y(x):
Agora, substituindo x = \pi/2:
Para que isso seja zero, ou B = 0 (o que nos daria a solução trivial, que não queremos) ou \cos\left(\omega \cdot \frac{\pi}{2}\right) = 0. Portanto, precisamos que:

Passo 6

A função cosseno é zero em argumentos ímpares múltiplos de \pi/2. Assim, temos:
é
Simplificando:
Como estamos procurando o menor valor positivo de k, tomamos n = 0:

Passo 7

Lembrando que k = \omega², substituímos \omega = 1:
²

Resposta

O valor da constante k que garante uma solução não trivial é k = 1.

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