Utilize o método de separação de variáveis para encontrar, se possível, soluções na forma de produto para:
y u_x + x u_y = 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial:
O conteúdo da matéria envolve equações diferenciais parciais e, em particular, o método de separação de variáveis. Vamos precisar assumir que a solução pode ser expressa como um produto de funções de e , ou seja:

Passo 2

Vamos assumir que a solução pode ser escrita como . Isso significa que cada parte da função depende apenas de uma variável.

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Substituímos essas derivadas na equação original:
Simplificando:

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar os termos que dependem apenas de e apenas de :
Isso nos permite separar as variáveis:

Passo 6

Notamos que cada lado da equação depende de apenas uma variável, então ambos devem ser iguais a uma constante, digamos :

Passo 7

Resolvemos a equação diferencial para :
A solução geral é:

Passo 8

Agora, resolvemos a equação para :
Rearranjando:
A solução geral é:

Passo 9

Finalmente, combinamos e para obter a solução geral:
Onde é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral na forma de produto é:
onde e são constantes arbitrárias.

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