Utilize o método de separação de variáveis para encontrar, se possível, soluções na forma de produto para:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial:
O conteúdo da matéria envolve equações diferenciais parciais e, em particular, o método de separação de variáveis. Vamos precisar assumir que a solução pode ser expressa como um produto de funções de
e
, ou seja:
Passo 2
Vamos assumir que a solução pode ser escrita como
. Isso significa que cada parte da função depende apenas de uma variável.
Passo 3
Agora, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Substituímos essas derivadas na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para isolar os termos que dependem apenas de
e apenas de
:
Isso nos permite separar as variáveis:
Passo 6
Notamos que cada lado da equação depende de apenas uma variável, então ambos devem ser iguais a uma constante, digamos
:
Passo 7
Resolvemos a equação diferencial para
:
A solução geral é:
Passo 8
Agora, resolvemos a equação para
:
Rearranjando:
A solução geral é:
Passo 9
Finalmente, combinamos
e
para obter a solução geral:
Onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral na forma de produto é:
onde
e
são constantes arbitrárias.