Seja K um corpo ordenado. Prove as seguintes propriedades:
x > 0 e y < 0 => x * y < 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que, em um corpo ordenado K, se e , então o produto x * y também é menor que zero.
Vamos lembrar que um corpo ordenado é um conjunto no qual a gente pode somar, subtrair, multiplicar e dividir (menos por zero) os elementos, e que a ordem está bem definida. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades da ordem em relação à multiplicação.

Passo 2

Primeiro, sabemos que significa que x é um elemento positivo do corpo, e significa que y é negativo. Nosso objetivo é mostrar que o produto desses dois números, x * y, é negativo.

Passo 3

Vamos usar uma propriedade fundamental dos corpos ordenados: a multiplicação de um número positivo por um número negativo resulta em um número negativo. Isso faz parte das regras básicas de sinais na multiplicação.

Passo 4

Mais detalhadamente, como e , podemos escrever y como , onde é a parte positiva de y. Então, o produto fica:
Como x e são ambos positivos, também é positivo. Portanto, é negativo.

Passo 5

Assim, mostramos que x * y resulta em um número negativo quando x é positivo e y é negativo, conforme queríamos provar.

Resposta

Portanto, se e em um corpo ordenado K, então .

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