Seja
um corpo ordenado. Prove as seguintes propriedades:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que, em um corpo ordenado
, se
e
, então o produto
também é menor que zero.
Vamos lembrar que um corpo ordenado é um conjunto no qual a gente pode somar, subtrair, multiplicar e dividir (menos por zero) os elementos, e que a ordem está bem definida. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades da ordem em relação à multiplicação.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
significa que
é um elemento positivo do corpo, e
significa que
é negativo. Nosso objetivo é mostrar que o produto desses dois números,
, é negativo.
Passo 3
Vamos usar uma propriedade fundamental dos corpos ordenados: a multiplicação de um número positivo por um número negativo resulta em um número negativo. Isso faz parte das regras básicas de sinais na multiplicação.
Passo 4
Mais detalhadamente, como
e
, podemos escrever
como
, onde
é a parte positiva de
. Então, o produto fica:
Como
e
são ambos positivos,
também é positivo. Portanto,
é negativo.
Passo 5
Assim, mostramos que
resulta em um número negativo quando
é positivo e
é negativo, conforme queríamos provar.
Resposta
Portanto, se
e
em um corpo ordenado
, então
.