Resolva a equação diferencial homogênea:
d y/d x = (y - 2 * raiz(16 x^2 - y^2)) / x

Passo 1

Então, temos uma equação diferencial que a gente precisa resolver:
Essa é uma equação diferencial homogênea. O que isso significa? Que ela pode ser simplificada usando uma substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar usar técnicas de substituição e manipulação de equações para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que:
Isso parece com a expressão da equação de uma circunferência, mas vamos focar em como simplificar a equação diferencial. Para facilitar, fazemos uma substituição. Vamos definir:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, precisamos derivar em relação a usando a regra do produto:
Substituímos e na equação original:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, simplificamos a raiz:
Substituindo isso na equação:

Passo 5

Agora, vamos isolar :
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Agora, temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis e :

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo envolve uma função trigonométrica padrão:
E a integral do lado direito:
Então, temos:

Passo 8

Vamos substituir de volta na equação:

Passo 9

Para deixar a resposta mais simplificada, podemos isolar :
Podemos reescrever como uma nova constante :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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