Resolva a equação diferencial homogênea:
Passo 1
Então, temos uma equação diferencial que a gente precisa resolver:
Essa é uma equação diferencial homogênea. O que isso significa? Que ela pode ser simplificada usando uma substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar usar técnicas de substituição e manipulação de equações para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que:
Isso parece com a expressão da equação de uma circunferência, mas vamos focar em como simplificar a equação diferencial. Para facilitar, fazemos uma substituição. Vamos definir:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, precisamos derivar
em relação a
usando a regra do produto:
Substituímos
e
na equação original:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, simplificamos a raiz:
Substituindo isso na equação:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 7
Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo envolve uma função trigonométrica padrão:
E a integral do lado direito:
Então, temos:
Passo 8
Vamos substituir
de volta na equação:
Passo 9
Para deixar a resposta mais simplificada, podemos isolar
:
Podemos reescrever
como uma nova constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: