Resolva a seguinte equação homogênea:
(x+y) d x+(y+x) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial homogênea:
(x + y) , dx + (x + y) , dy = 0
Essa equação está relacionada ao conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente das equações homogêneas de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a equação, permitindo encontrar a solução de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos perceber que os termos (x + y) aparecem tanto multiplicando dx quanto dy. Isso sugere que podemos fatorar esse termo comum:
(x + y)(dx + dy) = 0

Passo 3

Agora, temos um produto igual a zero. Isso significa que pelo menos um dos fatores deve ser zero. Portanto, temos duas possibilidades:
  1. x + y = 0
  2. dx + dy = 0
Vamos analisar cada caso separadamente.

Passo 4

Caso 1: x + y = 0
Essa é uma equação simples que relaciona x e y. Podemos rearranjá-la para expressar y em termos de x:
y = -x
Essa é uma solução linear da equação diferencial.

Passo 5

Caso 2: dx + dy = 0
Essa expressão pode ser interpretada como a derivada total de x + y. Ou seja:
d(x + y) = 0
Isso significa que x + y é constante. Vamos chamar essa constante de C:
x + y = C

Passo 6

Juntando os dois casos, a solução geral da equação diferencial é:
x + y = C
Onde C é uma constante real que representa a família de soluções da equação.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x + y = C
Onde C é uma constante real.

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