Resolva a seguinte equação homogênea:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial homogênea:
Essa equação está relacionada ao conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente das equações homogêneas de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a equação, permitindo encontrar a solução de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos perceber que os termos aparecem tanto multiplicando quanto . Isso sugere que podemos fatorar esse termo comum:

Passo 3

Agora, temos um produto igual a zero. Isso significa que pelo menos um dos fatores deve ser zero. Portanto, temos duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso separadamente.

Passo 4

Caso 1:
Essa é uma equação simples que relaciona e . Podemos rearranjá-la para expressar em termos de :
Essa é uma solução linear da equação diferencial.

Passo 5

Caso 2:
Essa expressão pode ser interpretada como a derivada total de . Ou seja:
Isso significa que é constante. Vamos chamar essa constante de :

Passo 6

Juntando os dois casos, a solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real que representa a família de soluções da equação.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real.

Exercícios relacionados

Seja uma matriz quadrada de ordem 3 tal que . Calcule:
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Resolva a equação diferencial exata:
Resolva a equação exata:
Resolva a equação exata: