Resolva a seguinte equação homogênea:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial homogênea:
Essa equação está relacionada ao conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente das equações homogêneas de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a equação, permitindo encontrar a solução de forma mais fácil.
Passo 2
Primeiro, vamos perceber que os termos
aparecem tanto multiplicando
quanto
. Isso sugere que podemos fatorar esse termo comum:
Passo 3
Agora, temos um produto igual a zero. Isso significa que pelo menos um dos fatores deve ser zero. Portanto, temos duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso separadamente.
Passo 4
Caso 1:
Essa é uma equação simples que relaciona
e
. Podemos rearranjá-la para expressar
em termos de
:
Essa é uma solução linear da equação diferencial.
Passo 5
Caso 2:
Essa expressão pode ser interpretada como a derivada total de
. Ou seja:
Isso significa que
é constante. Vamos chamar essa constante de
:
Passo 6
Juntando os dois casos, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real que representa a família de soluções da equação.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Seja
uma matriz quadrada de ordem 3 tal que
. Calcule:
©
©
Resolva a equação diferencial exata:
Resolva a equação exata:
Resolva a equação exata: