2,0 Resolva a equaçáo diferencial homogénea:
(x^2 + y^2) dx + (x^2 - x y) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é uma equação homogênea. A equação que temos é:
Aqui, o conteúdo principal é equações diferenciais homogêneas. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifica a equação, geralmente assumindo que , onde é uma função de .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição . Isso significa que . Vamos substituir e na equação original:

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo:
  1. Simplificando o primeiro termo:
  1. Simplificando o segundo termo:
Substituindo de volta na equação:

Passo 4

Vamos distribuir nos termos dentro do parêntese:
Simplificando os termos com :
Agrupando os termos com :
Simplificando dentro dos colchetes:
Então, a equação fica:

Passo 5

Vamos dividir toda a equação por para simplificar:
Agora, reorganizando os termos:

Passo 6

Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Vamos simplificar o lado esquerdo:
Então, a equação fica:
Multiplicando ambos os lados:

Passo 7

Integrando ambos os lados:
  1. Integração do lado esquerdo:
Vamos resolver:
  1. Integração do lado direito:

Passo 8

Igualando as integrações:
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 9

Podemos reorganizar a equação para expressar melhor a solução geral:
Simplificando os logaritmos:
Podemos combinar os logaritmos:
Ou, finalmente:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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