Resolva a equação diferencial linear :
d y/d x + x y = e^x, sendo y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar um fator integrante. Vamos seguir os passos juntos!

Passo 2

Primeiro, identifique os coeficientes na equação:
Comparando com a nossa equação:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante :
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:

Passo 6

A integral do lado direito pode ser resolvida por substituição. Vamos deixar a parte exponencial como está e reconhecer que:
Então, temos:

Passo 7

Agora, resolvemos para :

Passo 8

Usamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Classifique quanto a ordem e identifique o grau de cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo
y' + y = x
Resolva a equação diferencial de variável separável :
cos(x) dx + (y^2 + 1) dy = 0, sendo y(0) = 1
Determine e esboce o domínio da função f se
(a) f(x, y)=raizx-yx+y
(b) f(x, y)=x^2-y^2x-y
(c) f(x, y)=x+yx y
(d) f(x, y)=16-x^2-y^2
(e) f(x, y)=|x| e^yx
(f) f(x, y)=raiz1-|x|-|y|
(g) f(x, y)=x-ysen(x)-sen(y)
(h) f(x, y)=raizy-x+raiz1-y
(i) f(x, y, z)=x y z-x^4+x^5-z^7
(j) f(x, y, z)=sen(x^2-y^2+z^2)
(k) f(x, y, z)=yx z
(l) f(x, y, z)=x^2 sec (y)+z
(m) f(x, y, z)=ln (x^2+y^2+z^2-1)
(n) f(x, y, z)=raizz-x^2-y^2
(o) f(x, y, z)=raiz[4]z^2-y^2-x^2
(p) f(x, y, z)=raiz400-16 x^2-25 y^2-z^2
(e) lim h 0 f(x, y+h, z)-f(x, y, z)h
(f) lim h 0 f(x, y, z+h)-f(x, y, z)h
Resolva a equação diferencial homogênea :
(y + x tg(y/x)) dx - x dy = 0