Resolva a equação diferencial linear :
d y/d x + x y = e^x, sendo y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar um fator integrante. Vamos seguir os passos juntos!

Passo 2

Primeiro, identifique os coeficientes na equação:
Comparando com a nossa equação:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante :
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:

Passo 6

A integral do lado direito pode ser resolvida por substituição. Vamos deixar a parte exponencial como está e reconhecer que:
Então, temos:

Passo 7

Agora, resolvemos para :

Passo 8

Usamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados