Resolva a equação diferencial de variável separável :
cos(x) dx + (y^2 + 1) dy = 0, sendo y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de variável separável que é a seguinte:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de variável separável, onde conseguimos separar os termos que envolvem dos que envolvem . Para resolver, vamos precisar integrar ambos os lados após separar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . Vamos mover um dos termos para o outro lado da equação:
Agora, temos todos os termos com de um lado e com do outro, prontos para integrar.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação. Começamos com o lado esquerdo:
A integral de é :

Passo 4

Agora, integramos o lado direito:
Isso resulta em:

Passo 5

Juntando as integrais dos dois lados, temos:
Podemos simplificar juntando as constantes e em uma única constante :

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituímos e na equação:
Sabemos que , então:

Passo 7

Substituímos o valor de de volta na equação:
Podemos rearranjar para deixar a equação em termos de :
Multiplicando tudo por 3 para simplificar:

Resposta

A solução da equação diferencial dada, com a condição inicial , é:

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