Resolva a equação diferencial ordinária linear:
(-2xy + x^2 * E^(-x) * 2) dx - dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial ordinária linear. Isso significa que vamos encontrar uma função que satisfaz a equação dada. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação e aplicar métodos específicos de equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear. A equação que temos é:
Vamos reorganizar para isolar :
Agora, escrevemos a equação na forma:
Aqui, identificamos que é uma equação linear de primeira ordem onde:

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante. O fator integrante é uma função que, quando multiplicada em toda a equação, facilita a resolução. Ele é dado por:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
A equação fica:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Isso simplifica a nossa resolução, pois agora podemos integrar ambos os lados facilmente.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integração do lado esquerdo simplesmente retorna , e a do lado direito é:
Então, temos:

Passo 7

Por fim, isolamos para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Ou, de forma simplificada:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Derive a função utilizando as Regras de Derivação.
f(x) = raiz(x) - x
Determine a soma das sentenças verdadeiras.
Sentença 4) A função f(x) = { (|x-3|/(x-3) + 4), se x ≠ 3; 5, se x = 3 } é contínua em x0 = 3.
Determine a soma das sentenças verdadeiras.
Sentença 8) A função f(x) = (3*x^2 + 5) / (x^2 + 4) + raiz(x^4 + 1) é contínua em R.
Considere a seguinte função f(x)=4-2 x, e faça o que se pede:
Calcule integral0^3 f(x) d x. Resposta: 3