Resolva a equação diferencial de primeira ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem e vamos precisar verificar se ela é exata. Se não for, talvez a gente precise encontrar um fator integrante. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão:
Comparando com a equação dada, temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais:
Calculando:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece na integração.
Passo 5
Agora, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que:
Então, a função
fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante qualquer.