Resolva a equação diferencial de primeira ordem. x^2 dy + (2xy - e^x) dx = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem e vamos precisar verificar se ela é exata. Se não for, talvez a gente precise encontrar um fator integrante. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão:
Comparando com a equação dada, temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais:
Calculando:
Como , a equação é exata!

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece na integração.

Passo 5

Agora, diferenciamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que:
Então, a função fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante qualquer.

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