Resolva a equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que nos foi dada:
Nessa resolução, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente sobre equações diferenciais exatas e métodos de separação de variáveis. Vamos precisar identificar se a equação é exata ou se pode ser simplificada para resolver.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções que estão multiplicando e na equação. Vamos chamar:
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Quando a equação não é exata, uma estratégia é tentar torná-la exata usando um fator integrante. Entretanto, nesse caso, uma abordagem mais simples é rearranjar a equação para separar as variáveis e . Vamos reescrever a equação para isolar :
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando os expoentes:

Passo 4

Agora, temos uma equação que pode ser resolvida por separação de variáveis. Vamos separar e de cada lado:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Com as variáveis separadas, integramos ambos os lados da equação:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão para encontrar em termos de :
Multiplicando ambos os lados por 3:
Onde ainda representa uma constante.

Passo 7

Finalmente, isolamos :
Para simplificar, podemos absorver o 3 na constante :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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