Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que nos foi dada:
Nessa resolução, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente sobre equações diferenciais exatas e métodos de separação de variáveis. Vamos precisar identificar se a equação é exata ou se pode ser simplificada para resolver.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções que estão multiplicando
e
na equação. Vamos chamar:
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Quando a equação não é exata, uma estratégia é tentar torná-la exata usando um fator integrante. Entretanto, nesse caso, uma abordagem mais simples é rearranjar a equação para separar as variáveis
e
. Vamos reescrever a equação para isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando os expoentes:
Passo 4
Agora, temos uma equação que pode ser resolvida por separação de variáveis. Vamos separar
e
de cada lado:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Com as variáveis separadas, integramos ambos os lados da equação:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão para encontrar
em termos de
:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Onde
ainda representa uma constante.
Passo 7
Finalmente, isolamos
:
Para simplificar, podemos absorver o 3 na constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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