Resolva a equação diferencial de primeira ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que é
. Essa equação está no formato linear, então vamos usar o método dos fatores integrantes para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear:
. Para isso, multiplico todos os termos por
(já que temos
na frente de
):
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Então podemos escrever:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 7
Para resolver a integral
, usamos a substituição
, então
ou
. Substituindo na integral:
Passo 8
Voltando à equação anterior:
Dividindo ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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