Resolva a equação diferencial de primeira ordem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que é . Essa equação está no formato linear, então vamos usar o método dos fatores integrantes para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear: . Para isso, multiplico todos os termos por (já que temos na frente de ):
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Então podemos escrever:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Aqui, é a constante de integração.

Passo 7

Para resolver a integral , usamos a substituição , então ou . Substituindo na integral:

Passo 8

Voltando à equação anterior:
Dividindo ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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