Resolva a equação diferencial de segunda ordem homogênea: Dada a condição inicial e .

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea: Com as condições iniciais e . Para isso, precisamos usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos por , o que nos dá:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica . Calculamos o discriminante : Como o discriminante é zero, temos raízes reais e iguais. Calculamos a raiz:

Passo 4

Com a raiz dupla , a solução geral da equação diferencial é: Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais para encontrar e . Primeiro, usamos : Segundo, calculamos a derivada de para aplicar : Aplicando :

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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