Resolva a equação diferencial de segunda ordem homogênea:
Dada a condição inicial e .
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea:
Com as condições iniciais e . Para isso, precisamos usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos por , o que nos dá:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica . Calculamos o discriminante :
Como o discriminante é zero, temos raízes reais e iguais. Calculamos a raiz:
Passo 4
Com a raiz dupla , a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, usamos :
Segundo, calculamos a derivada de para aplicar :
Aplicando :
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
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Resolva a equação diferencial de crescimento populacional:
Onde e .
Resolva a equação diferencial exata:
Resolva a seguinte equação diferencial utilizando separação de variáveis:
Suponha que .
Verifique se a seguinte equação é exata e, se for, resolva-a: