Resolva a equação diferencial. x dy/dx - 4y = x

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear: .
Dividindo ambos os lados da equação original por (considerando que ):
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :
Como estamos trabalhando com , podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Isso nos permite integrar ambos os lados em relação a :

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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