Usando integração por partes, calcule integral x cdot ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de em relação a . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente da técnica chamada integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar identificar duas partes da função que vamos usar na fórmula dessa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é assim:
integral u , dv = uv - integral v , du
Basicamente, a gente escolhe uma parte da função para ser e a outra para ser . O lance é escolher e de forma que a integral resultante seja mais fácil de resolver do que a original.

Passo 3

Vamos escolher qual vai ser o nosso du = ddx (ln x) , dx = 1x , dx e v = integral x , dx = x^22 . Geralmente, a gente escolhe como a parte que fica mais simples quando derivada. No nosso caso:
  • Escolhemos
  • Então,
Agora, precisamos calcular e :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x cdot ln x , dx = uv - integral v , du
Substituindo o que encontramos:
= ln x cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx
Simplificando a integral:
= x^22 ln x - 12 integral x , dx
Agora, vamos integrar integral x , dx = x^22 :
= x^22 ln x - 12 cdot x^22 + C
Então, substituindo de volta:

Resposta

Portanto, a integral de integral x cdot ln x , dx = x^22 ln x - x^24 + C é:
Onde é a constante de integração.

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