Usando integração por partes, calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de em relação a . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente da técnica chamada integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar identificar duas partes da função que vamos usar na fórmula dessa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é assim:
Basicamente, a gente escolhe uma parte da função para ser e a outra para ser . O lance é escolher e de forma que a integral resultante seja mais fácil de resolver do que a original.

Passo 3

Vamos escolher qual vai ser o nosso e . Geralmente, a gente escolhe como a parte que fica mais simples quando derivada. No nosso caso:
  • Escolhemos
  • Então,
Agora, precisamos calcular e :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo o que encontramos:
Simplificando a integral:
Agora, vamos integrar :
Então, substituindo de volta:

Resposta

Portanto, a integral de é:
Onde é a constante de integração.

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