Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial que foi dada:
. Essa equação faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar conhecer como encontrar soluções para equações homogêneas com coeficientes constantes. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação diferencial:
. Como é uma equação homogênea (não tem termo independente), procuramos soluções da forma
, onde
é um número real que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituímos
na equação. Vamos calcular as derivadas:
Agora, substituindo na equação:
Passo 4
Podemos fatorar
da equação:
Como
nunca é zero, podemos igualar o que está dentro do parênteses a zero:
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática
:
Então, as soluções para
são:
Passo 6
Com os valores de
encontrados, temos duas soluções lineares independentes:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é uma combinação linear dessas soluções:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial.
Seja
um número real não nulo.
(a) Mostre que o problema de contorno ,
tem apenas a solução trivial
para os casos
.
(b) Para o caso , determine os valores de
para os quais este problema tenha uma solução não trivial e dê a solução correspondente.
(a) Mostre que o problema de contorno
(b) Para o caso
Resolva o problema de valor inicial.
Explique por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio.