Resolva a equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial que foi dada: . Essa equação faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar conhecer como encontrar soluções para equações homogêneas com coeficientes constantes. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação diferencial: . Como é uma equação homogênea (não tem termo independente), procuramos soluções da forma , onde é um número real que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituímos na equação. Vamos calcular as derivadas:
Agora, substituindo na equação:

Passo 4

Podemos fatorar da equação:
Como nunca é zero, podemos igualar o que está dentro do parênteses a zero:

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática :
Então, as soluções para são:

Passo 6

Com os valores de encontrados, temos duas soluções lineares independentes:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é uma combinação linear dessas soluções:
Onde e são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Resolva a equação diferencial.
Seja um número real não nulo.
(a) Mostre que o problema de contorno , tem apenas a solução trivial para os casos .
(b) Para o caso , determine os valores de para os quais este problema tenha uma solução não trivial e dê a solução correspondente.
Resolva o problema de valor inicial.
Explique por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio.