Resolva a equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar as soluções da equação característica associada a essa equação diferencial. Basicamente, vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica para encontrar os valores que vão nos ajudar a construir a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma , a equação característica é . No nosso caso, temos:
Então, comparando com a forma geral, e . Assim, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo esses valores:

Passo 4

Simplificando a raiz quadrada de 12, que é , temos:
Então, os valores de são e .

Passo 5

Com os valores de encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para cada raiz real distinta , a solução é da forma , onde e são constantes que serão determinadas por condições iniciais (se houver).

Resposta

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Seja um número real não nulo.
(a) Mostre que o problema de contorno , tem apenas a solução trivial para os casos .
(b) Para o caso , determine os valores de para os quais este problema tenha uma solução não trivial e dê a solução correspondente.
Resolva o problema de valor inicial.
Resolva a equação diferencial.
Resolva o problema de valor inicial.