Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar as soluções da equação característica associada a essa equação diferencial. Basicamente, vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica para encontrar os valores que vão nos ajudar a construir a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma
, a equação característica é
. No nosso caso, temos:
Então, comparando com a forma geral,
e
. Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo esses valores:
Passo 4
Simplificando a raiz quadrada de 12, que é
, temos:
Então, os valores de
são
e
.
Passo 5
Com os valores de
encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para cada raiz real distinta
, a solução é da forma
, onde
e
são constantes que serão determinadas por condições iniciais (se houver).
Resposta
Portanto, a solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Seja
um número real não nulo.
(a) Mostre que o problema de contorno ,
tem apenas a solução trivial
para os casos
.
(b) Para o caso , determine os valores de
para os quais este problema tenha uma solução não trivial e dê a solução correspondente.
(a) Mostre que o problema de contorno
(b) Para o caso
Resolva o problema de valor inicial.
Resolva a equação diferencial.
Resolva o problema de valor inicial.