Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Além disso, são dadas as condições iniciais:
Vamos precisar usar métodos para resolver equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Basicamente, vamos encontrar uma solução geral para a equação e, depois, aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.
Passo 2
O primeiro passo para resolver essa equação é encontrar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Calculando o discriminante (
):
Passo 4
Como o discriminante é zero (
), temos raízes reais e iguais. Então, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
. Vamos calcular
:
Portanto, a solução geral fica:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Então:
Passo 6
Em seguida, vamos derivar a solução geral para encontrar
:
Aplicando a regra do produto para derivar:
Agora, aplicamos a condição
:
Então:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: