Resolva o problema de valor inicial. 4 y'' - 20 y' + 25 y = 0, y(0) = 2, y'(0) = -3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Além disso, são dadas as condições iniciais:
Vamos precisar usar métodos para resolver equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Basicamente, vamos encontrar uma solução geral para a equação e, depois, aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.

Passo 2

O primeiro passo para resolver essa equação é encontrar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Calculando o discriminante ( ):

Passo 4

Como o discriminante é zero ( ), temos raízes reais e iguais. Então, a solução geral da equação diferencial é:
Onde . Vamos calcular :
Portanto, a solução geral fica:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeiro, aplicamos :
Então:

Passo 6

Em seguida, vamos derivar a solução geral para encontrar :
Aplicando a regra do produto para derivar:
Agora, aplicamos a condição :
Então:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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