Resolva a equação diferencial
, sabendo que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
sabendo que
. Aqui, vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais exatas e aplicar condições iniciais para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a análise. A equação dada é:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Isso pode ser rearranjado para:
Passo 3
Agora, identificamos as funções
e
na forma diferencial geral
:
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Onde
é uma função de
apenas.
Passo 5
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituímos
na expressão de
:
Como
é constante, temos a solução geral da equação diferencial:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Portanto, a equação fica:
Passo 8
Para encontrar
em função de
, resolvemos a equação quadrática em
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
:
Passo 9
Escolhemos a solução que satisfaz a condição inicial
. Testando
:
Para
, usamos o sinal negativo:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Decida se cada função
possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as:
Resolva a seguinte equação Integral
Calcule:
Calcule: