Resolva a equação diferencial , sabendo que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial sabendo que . Aqui, vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais exatas e aplicar condições iniciais para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a análise. A equação dada é:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Isso pode ser rearranjado para:

Passo 3

Agora, identificamos as funções e na forma diferencial geral :
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Para encontrar , integramos em relação a :
Onde é uma função de apenas.

Passo 5

Derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituímos na expressão de :
Como é constante, temos a solução geral da equação diferencial:

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Portanto, a equação fica:

Passo 8

Para encontrar em função de , resolvemos a equação quadrática em :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e :

Passo 9

Escolhemos a solução que satisfaz a condição inicial . Testando :
Para , usamos o sinal negativo:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Decida se cada função possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as:
Resolva a seguinte equação Integral
Calcule:
Calcule: