Resolva a equação da difusão partial upartial t-D partial^2 upartial x^2=0, sujeita às condições:
  1. u(0, t)=ua
  2. u(L, t)=ub
  3. u(x, 0)=0 ; x in(0, L)
    Com ua, ub in R. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para u(x, t) ? Justifique sua resposta; b) Determine a função uc(x) que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação da difusão que é um tipo de equação diferencial parcial. O enunciado nos dá as condições de contorno e a condição inicial. A matéria que vamos usar aqui envolve equações diferenciais parciais e métodos para resolver problemas de contorno. Para resolver isso, vamos precisar separar a solução em uma parte que atende às condições de contorno e outra que resolve a equação homogênea.

Passo 2

a) Qual forma devemos utilizar para u(x, t) = uc(x) + uh(x, t) ? Justifique sua resposta.
A gente vai assumir que a solução pode ser escrita como a soma de duas funções:
Aqui, é uma solução estacionária que atende às condições de contorno, ou seja, fixada no tempo. Já é a parte que varia com o tempo e vai resolver a equação homogênea. Essa forma é útil porque separa a solução em uma parte fixa pelas condições de contorno e outra parte que evolui no tempo de acordo com a equação diferencial.

Passo 3

b) Determine a função uc(x) = ua + ub - uaL x que atende às condições de contorno.
Como deve satisfazer as condições de contorno e para todo o tempo , vamos assumir que é uma função linear, já que as condições de contorno são constantes. Então, podemos escrever:
Isso garante que quando , , e quando , .

Passo 4

c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função partial (uc + uh)partial t - D partial^2 (uc + uh)partial x^2 = 0 que é homogênea no contorno?
Substituindo partial uhpartial t - D partial^2 uhpartial x^2 = 0 na equação da difusão, temos:
uh(0, t) = 0 e uh(L, t) = 0
Como uh(x, 0) = -uc(x) = -( ua + ub - uaL x ) é independente do tempo, . Além disso, porque é uma função linear. Portanto, a equação para fica:
As condições de contorno para são homogêneas:
A condição inicial para vem de :

Passo 5

d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
A solução completa é a soma de u(x, t) = uc(x) + uh(x, t) = ua + ub - uaL x + sumn=1^infty Bn sin( npi xL ) e^-D ( npiL )^2 t e Bn = 2L integral0^L -uc(x) sin( npi xL ) dx :
Os coeficientes são determinados a partir da condição inicial usando a série de Fourier:
Essa solução satisfaz a equação da difusão porque cada termo da série resolve a equação homogênea e as condições de contorno. Além disso, na condição inicial, a soma dos termos da série ajusta para que .

Resposta

A solução da equação da difusão é dada por:
u(x, t) = ua + ub - uaL x + sumn=1^infty ( 2L integral0^L -( ua + ub - uaL x ) sin( npi xL ) dx ) sin( npi xL ) e^-D ( npiL )^2 t
Essa solução satisfaz a equação diferencial e as condições de contorno e inicial propostas no problema.

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