Resolva a equação da difusão , sujeita às condições:

  1. Com . Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine a função que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação da difusão que é um tipo de equação diferencial parcial. O enunciado nos dá as condições de contorno e a condição inicial. A matéria que vamos usar aqui envolve equações diferenciais parciais e métodos para resolver problemas de contorno. Para resolver isso, vamos precisar separar a solução em uma parte que atende às condições de contorno e outra que resolve a equação homogênea.

Passo 2

a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta.
A gente vai assumir que a solução pode ser escrita como a soma de duas funções:
Aqui, é uma solução estacionária que atende às condições de contorno, ou seja, fixada no tempo. Já é a parte que varia com o tempo e vai resolver a equação homogênea. Essa forma é útil porque separa a solução em uma parte fixa pelas condições de contorno e outra parte que evolui no tempo de acordo com a equação diferencial.

Passo 3

b) Determine a função que atende às condições de contorno.
Como deve satisfazer as condições de contorno e para todo o tempo , vamos assumir que é uma função linear, já que as condições de contorno são constantes. Então, podemos escrever:
Isso garante que quando , , e quando , .

Passo 4

c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função que é homogênea no contorno?
Substituindo na equação da difusão, temos:
Como é independente do tempo, . Além disso, porque é uma função linear. Portanto, a equação para fica:
As condições de contorno para são homogêneas:
A condição inicial para vem de :

Passo 5

d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
A solução completa é a soma de e :
Os coeficientes são determinados a partir da condição inicial usando a série de Fourier:
Essa solução satisfaz a equação da difusão porque cada termo da série resolve a equação homogênea e as condições de contorno. Além disso, na condição inicial, a soma dos termos da série ajusta para que .

Resposta

A solução da equação da difusão é dada por:
Essa solução satisfaz a equação diferencial e as condições de contorno e inicial propostas no problema.

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Resolva a equação da difusão , sujeita às condições:

  1. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine as equações que regem as funções ; c) Resolva as EDOs para e determine as contantes de integração; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
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  1. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Com o conhecimento das soluções das questgões anteriores da lista, mostre que a forma escolhida satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
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  1. Com . Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine a função que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.