Resolva a equação da difusão
, sujeita às condições:
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Com
. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para
? Justifique sua resposta; b) Determine a função
que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Com
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação da difusão que é um tipo de equação diferencial parcial. O enunciado nos dá as condições de contorno e a condição inicial. A matéria que vamos usar aqui envolve equações diferenciais parciais e métodos para resolver problemas de contorno. Para resolver isso, vamos precisar separar a solução em uma parte que atende às condições de contorno e outra que resolve a equação homogênea.
Passo 2
a) Qual forma devemos utilizar para
? Justifique sua resposta.
A gente vai assumir que a solução
pode ser escrita como a soma de duas funções:
Aqui,
é uma solução estacionária que atende às condições de contorno, ou seja, fixada no tempo. Já
é a parte que varia com o tempo e vai resolver a equação homogênea. Essa forma é útil porque separa a solução em uma parte fixa pelas condições de contorno e outra parte que evolui no tempo de acordo com a equação diferencial.
Passo 3
b) Determine a função
que atende às condições de contorno.
Como
deve satisfazer as condições de contorno
e
para todo o tempo
, vamos assumir que
é uma função linear, já que as condições de contorno são constantes. Então, podemos escrever:
Isso garante que quando
,
, e quando
,
.
Passo 4
c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função
que é homogênea no contorno?
Substituindo
na equação da difusão, temos:
Como
é independente do tempo,
. Além disso,
porque é uma função linear. Portanto, a equação para
fica:
As condições de contorno para
são homogêneas:
A condição inicial para
vem de
:
Passo 5
d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
A solução completa é a soma de
e
:
Os coeficientes
são determinados a partir da condição inicial
usando a série de Fourier:
Essa solução satisfaz a equação da difusão porque cada termo da série resolve a equação homogênea e as condições de contorno. Além disso, na condição inicial, a soma dos termos da série ajusta para que
.
Resposta
A solução da equação da difusão é dada por:
Essa solução satisfaz a equação diferencial e as condições de contorno e inicial propostas no problema.
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Resolva a equação da difusão
, sujeita às condições:
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Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para? Justifique sua resposta; b) Determine as equações que regem as funções ; c) Resolva as EDOs para e determine as contantes de integração; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Resolva a equação da difusão
, sujeita às condições:
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Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para? Justifique sua resposta; b) Determine as equações que regem as funções ; c) Resolva as EDOs para e determine as contantes de integração; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Resolva a equação da difusão
, sujeita às condições:
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Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para? Justifique sua resposta; b) Com o conhecimento das soluções das questgões anteriores da lista, mostre que a forma escolhida satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Resolva a equação da difusão
, sujeita às condições:
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Com. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine a função que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.