Resolva a equação da difusão
, sujeita às condições:
-
-
-
Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para
? Justifique sua resposta; b) Com o conhecimento das soluções das questgões anteriores da lista, mostre que a forma escolhida satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação da difusão:
com as condições de contorno:
-
-
-
para
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais parciais, especificamente sobre a equação da difusão, e técnicas de separação de variáveis para encontrar a solução
.
Passo 2
Primeiro, precisamos decidir qual forma vamos utilizar para
. Como as condições de contorno são homogêneas (ambas iguais a zero) e a condição inicial também é uma função seno, faz sentido tentar uma solução do tipo:
Essa forma é escolhida porque a função seno já satisfaz as condições de contorno automaticamente: quando
ou
,
e
, respeitando
.
Passo 3
Agora, vamos substituir essa forma de
na equação da difusão para verificar se ela realmente satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Primeiro, calculemos as derivadas necessárias:
Substituindo na equação da difusão:
Simplificando:
Podemos dividir ambos os lados por
(desde que
, o que é válido para
):
Passo 4
Agora temos uma equação diferencial ordinária para
:
Essa é uma equação linear de primeira ordem e pode ser resolvida usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando ambos os lados da equação por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora aplicamos a condição inicial para encontrar a constante
. Sabemos que:
Portanto,
. Usando a expressão para
:
Passo 6
Substituindo
de volta na expressão para
:
Simplificando:
Resposta
Portanto, a solução da equação da difusão dada é:
Ou, de forma simplificada:
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Resolva a equação da difusão
, sujeita às condições:
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Com. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine a função que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Resolva a equação da difusão
, sujeita às condições:
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Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para? Justifique sua resposta; b) Determine as equações que regem as funções ; c) Resolva as EDOs para e determine as contantes de integração; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Resolva a equação da difusão
, sujeita às condições:
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-
-
Com. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine a função que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Resolva a equação da difusão
, sujeita às condições:
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Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para u(x,t)? Justifique sua resposta; b) Com o conhecimento das soluções das questgões anteriores da lista, mostre que a forma escolhida satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.