Resolva a equação da difusão partial upartial t-D partial^2 upartial x^2=sin (pi xL), sujeita às condições:
  1. u(0, t)=0
  2. u(L, t)=0
  3. u(x, 0)=sin (pi xL) ; x in(0, L)
    Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para u(x, t) ? Justifique sua resposta; b) Com o conhecimento das soluções das questgões anteriores da lista, mostre que a forma escolhida satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação da difusão:
partial upartial t - D partial^2 upartial x^2 = sin(pi xL)
com as condições de contorno:
  1. para
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais parciais, especificamente sobre a equação da difusão, e técnicas de separação de variáveis para encontrar a solução .

Passo 2

Primeiro, precisamos decidir qual forma vamos utilizar para u(x, t) = A(t) sin(pi xL) . Como as condições de contorno são homogêneas (ambas iguais a zero) e a condição inicial também é uma função seno, faz sentido tentar uma solução do tipo:
Essa forma é escolhida porque a função seno já satisfaz as condições de contorno automaticamente: quando ou , e , respeitando .

Passo 3

Agora, vamos substituir essa forma de partial upartial t = A'(t) sin(pi xL) na equação da difusão para verificar se ela realmente satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Primeiro, calculemos as derivadas necessárias:
partial^2 upartial x^2 = -A(t) (piL)^2 sin(pi xL)
A'(t) sin(pi xL) - D [ -A(t) (piL)^2 sin(pi xL) ] = sin(pi xL)
Substituindo na equação da difusão:
A'(t) sin(pi xL) + D A(t) (piL)^2 sin(pi xL) = sin(pi xL)
Simplificando:
A'(t) + D (piL)^2 A(t) = 1
Podemos dividir ambos os lados por (desde que , o que é válido para ):

Passo 4

Agora temos uma equação diferencial ordinária para A'(t) + D pi^2L^2 A(t) = 1 :
mu(t) = e^integral D pi^2L^2 dt = e^D pi^2L^2 t
Essa é uma equação linear de primeira ordem e pode ser resolvida usando o fator integrante. O fator integrante e^D pi^2L^2 t A'(t) + D pi^2L^2 e^D pi^2L^2 t A(t) = e^D pi^2L^2 t é dado por:
ddt [ e^D pi^2L^2 t A(t) ] = e^D pi^2L^2 t
Multiplicando ambos os lados da equação por e^D pi^2L^2 t A(t) = integral e^D pi^2L^2 t dt + C :
e^D pi^2L^2 t A(t) = L^2D pi^2 e^D pi^2L^2 t + C
Isso simplifica para:
A(t) = L^2D pi^2 + C e^-D pi^2L^2 t
Integrando ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Agora aplicamos a condição inicial para encontrar a constante u(x, 0) = sin(pi xL) = A(0) sin(pi xL) . Sabemos que:
1 = L^2D pi^2 + C e^0
Portanto, 1 = L^2D pi^2 + C . Usando a expressão para C = 1 - L^2D pi^2 :

Passo 6

Substituindo A(t) = L^2D pi^2 + (1 - L^2D pi^2) e^-D pi^2L^2 t de volta na expressão para A(t) = L^2D pi^2 (1 - e^-D pi^2L^2 t) + e^-D pi^2L^2 t :
A(t) = L^2D pi^2 + (1 - L^2D pi^2) e^-D pi^2L^2 t
Simplificando:

Resposta

Portanto, a solução da equação da difusão dada é:
u(x, t) = (L^2D pi^2) (1 - e^-D pi^2L^2 t) sin(pi xL) + e^-D pi^2L^2 t sin(pi xL)
Ou, de forma simplificada:
u(x, t) = sin(pi xL) [ L^2D pi^2 (1 - e^-D pi^2L^2 t) + e^-D pi^2L^2 t ]

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