Resolva a equação da difusão partial upartial t-D partial^2 upartial x^2=0, sujeita às condições:
  1. d u(0, t)d x=fa
  2. d u(L, t)d x=fb
  3. u(x, 0)=0 ; x in(0, L)
    Com fa, fb in R. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para u(x, t) ? Justifique sua resposta; b) Determine a função uc(x) que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação da difusão, que basicamente descreve como algo, como calor ou uma substância, se espalha ao longo do tempo e do espaço. A equação que vamos resolver é:
partial upartial t - D partial^2 upartial x^2 = 0
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais parciais, condições de contorno e condições iniciais. Vamos seguir os passos indicados para chegar na solução final.

Passo 2

a) Qual forma devemos utilizar para u(x, t) = X(x) cdot T(t) ? Justifique sua resposta.
Aqui, a gente vai usar o método da separação de variáveis. Isso significa que vamos supor que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de :
Essa forma ajuda a simplificar a equação, permitindo resolver as partes espaciais e temporais separadamente.

Passo 3

b) Determine a função du(0, t)dx = fa e du(L, t)dx = fb que atende às condições de contorno.
Antes de separar as variáveis, vamos achar uma solução particular uc(x) = A x + B que satisfaça as condições de contorno:
ducdx = A = fa Rightarrow A = fa
Vamos propor que ducdx = A = fb Rightarrow fa = fb é uma função linear, já que a derivada será constante:
uc(x) = fa x + B
Agora, aplicamos as condições de contorno:
  1. Em 0 = fa x + B Rightarrow B = -fa x :
uc(x) = 0
  1. Em :
Isso implica que deve ser igual a . Supondo que sejam iguais, temos:
Para determinar , usamos a condição inicial :
Mas isso só faz sentido se , o que simplifica . Portanto, a função particular que atende às condições de contorno é:

Passo 4

c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função partial uhpartial t - D partial^2 uhpartial x^2 = 0 que é homogênea no contorno?
Agora, vamos considerar a solução homogênea duhdx|x=0 = 0 e duhdx|x=L = 0 , que satisfaz a equação diferencial com condições de contorno homogêneas (ou seja, zero nas bordas):
uh(x, 0) = u(x, 0) - uc(x) = 0
As condições de contorno para são:
A condição inicial para vem da condição inicial original subtraindo , que é zero:

Passo 5

d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
A solução geral u(x, t) = uc(x) + uh(x, t) = 0 + uh(x, t) = uh(x, t) é a soma da solução particular uh(x, t) = X(x) cdot T(t) e da solução homogênea X(x) dTdt - D T(t) d^2 Xdx^2 = 0 :
1T(t) dTdt = D 1X(x) d^2 Xdx^2 = -lambda
Como dTdt + lambda T = 0 Rightarrow T(t) = T0 e^-lambda t , a solução final depende apenas da solução homogênea. Usando a separação de variáveis, assumimos:
d^2 Xdx^2 + lambdaD X = 0
Substituindo na equação da difusão:
uh(x, t) = sumn=1^infty Cn cos(npi xL) e^-(npiL)^2 D t
Dividindo ambos os lados por u(x, t) = 0 :
Isso nos dá duas equações:
  1. Temporal:
  1. Espacial:
Resolvendo a equação espacial com as condições de contorno homogêneas, encontramos que as soluções são funções trigonométricas. A solução geral homogênea é uma série de Fourier:
Aplicando a condição inicial , concluímos que todos os coeficientes são zero. Portanto, a solução final é:

Resposta

A solução da equação da difusão dada pelas condições de contorno e inicial é .

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