Resolva a equação da difusão , sujeita às condições:

  1. Com . Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine a função que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação da difusão, que basicamente descreve como algo, como calor ou uma substância, se espalha ao longo do tempo e do espaço. A equação que vamos resolver é:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais parciais, condições de contorno e condições iniciais. Vamos seguir os passos indicados para chegar na solução final.

Passo 2

a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta.
Aqui, a gente vai usar o método da separação de variáveis. Isso significa que vamos supor que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de :
Essa forma ajuda a simplificar a equação, permitindo resolver as partes espaciais e temporais separadamente.

Passo 3

b) Determine a função que atende às condições de contorno.
Antes de separar as variáveis, vamos achar uma solução particular que satisfaça as condições de contorno:
Vamos propor que é uma função linear, já que a derivada será constante:
Agora, aplicamos as condições de contorno:
  1. Em :
  1. Em :
Isso implica que deve ser igual a . Supondo que sejam iguais, temos:
Para determinar , usamos a condição inicial :
Mas isso só faz sentido se , o que simplifica . Portanto, a função particular que atende às condições de contorno é:

Passo 4

c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função que é homogênea no contorno?
Agora, vamos considerar a solução homogênea , que satisfaz a equação diferencial com condições de contorno homogêneas (ou seja, zero nas bordas):
As condições de contorno para são:
A condição inicial para vem da condição inicial original subtraindo , que é zero:

Passo 5

d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
A solução geral é a soma da solução particular e da solução homogênea :
Como , a solução final depende apenas da solução homogênea. Usando a separação de variáveis, assumimos:
Substituindo na equação da difusão:
Dividindo ambos os lados por :
Isso nos dá duas equações:
  1. Temporal:
  1. Espacial:
Resolvendo a equação espacial com as condições de contorno homogêneas, encontramos que as soluções são funções trigonométricas. A solução geral homogênea é uma série de Fourier:
Aplicando a condição inicial , concluímos que todos os coeficientes são zero. Portanto, a solução final é:

Resposta

A solução da equação da difusão dada pelas condições de contorno e inicial é .

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  1. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Com o conhecimento das soluções das questgões anteriores da lista, mostre que a forma escolhida satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Resolva a equação da difusão , sujeita às condições:

  1. Com . Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine a função que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
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  1. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para u(x,t)? Justifique sua resposta; b) Determine as equações que regem as funções ; c) Resolva as EDOs para e determine as contantes de integração; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.