Resolva a equação da difusão
, sujeita às condições:
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Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para u(x,t)? Justifique sua resposta; b) Com o conhecimento das soluções das questgões anteriores da lista, mostre que a forma escolhida satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para u(x,t)? Justifique sua resposta; b) Com o conhecimento das soluções das questgões anteriores da lista, mostre que a forma escolhida satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação da difusão que envolve derivadas parciais. A equação é:
Com as condições de contorno:
E a condição inicial:
Vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e considerar soluções particulares para resolver essa equação. A ideia é encontrar uma função
que satisfaça tanto a equação diferencial quanto as condições de contorno e inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na forma da solução
. Como o lado direito da equação tem um termo senoidal
, faz sentido procurar uma solução que envolva funções trigonométricas. Além disso, precisamos considerar que a solução geral pode ser composta de duas partes: uma solução particular que responde ao termo não homogêneo e uma solução homogênea que resolve a equação sem o termo do lado direito.
Então, vamos assumir que a solução tem a forma:
Essa forma é escolhida porque a função senoidal vai naturalmente interagir com os termos da equação, facilitando a resolução.
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa forma escolhida satisfaz a equação diferencial e as condições de contorno.
Primeiro, derivamos
em relação ao tempo
:
E a segunda derivada em relação a
:
Substituindo na equação da difusão:
Simplificando:
Dividindo os dois lados por
:
Essa é uma equação diferencial para
. Ela pode ser resolvida como uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral dessa equação é:
Onde
é uma constante determinada pela condição inicial. Usando
, temos:
Comparando os coeficientes:
Então,
Portanto, a solução completa é:
Resposta
A solução da equação da difusão é:
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Resolva a equação da difusão
, sujeita às condições:
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Com. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine a função que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Resolva a equação da difusão
, sujeita às condições:
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Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para? Justifique sua resposta; b) Com o conhecimento das soluções das questgões anteriores da lista, mostre que a forma escolhida satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Resolva a equação da onda
, sujeita às condições:
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Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para u(x,t)? Justifique sua resposta; b) Determine as equações que regem as funções; c) Resolva as EDOs para e determine as contantes de integração; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Resolva a equação da onda
, sujeita às condições:
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Com. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine a função que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.