Resolva a equação da difusão partial upartial t-D partial^2 upartial x^2=sin (pi xL), sujeita às condições:
  1. d u(0, t)d x=0
  2. d u(L, t)d x=0
  3. u(x, 0)=sin (pi xL) ; x in(0, L)
    Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para u(x,t)? Justifique sua resposta; b) Com o conhecimento das soluções das questgões anteriores da lista, mostre que a forma escolhida satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação da difusão que envolve derivadas parciais. A equação é:
partial upartial t - D partial^2 upartial x^2 = sin (pi xL)
Com as condições de contorno:
  1. u(x, 0) = sin (pi xL) para x in (0, L)
E a condição inicial:
Vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e considerar soluções particulares para resolver essa equação. A ideia é encontrar uma função que satisfaça tanto a equação diferencial quanto as condições de contorno e inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na forma da solução u(x, t) = A(t) sin(pi xL) + solução homogênea . Como o lado direito da equação tem um termo senoidal , faz sentido procurar uma solução que envolva funções trigonométricas. Além disso, precisamos considerar que a solução geral pode ser composta de duas partes: uma solução particular que responde ao termo não homogêneo e uma solução homogênea que resolve a equação sem o termo do lado direito.
Então, vamos assumir que a solução tem a forma:
çãê
Essa forma é escolhida porque a função senoidal vai naturalmente interagir com os termos da equação, facilitando a resolução.

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa forma escolhida satisfaz a equação diferencial e as condições de contorno.
Primeiro, derivamos partial upartial t = A'(t) sin(pi xL) em relação ao tempo partial^2 upartial x^2 = -(piL)^2 A(t) sin(pi xL) + termos da solução homogênea :
A'(t) sin(pi xL) - D [-(piL)^2 A(t) sin(pi xL)] = sin(pi xL)
E a segunda derivada em relação a A'(t) sin(pi xL) + D (piL)^2 A(t) sin(pi xL) = sin(pi xL) :
A'(t) + D (piL)^2 A(t) = 1 çãê
Substituindo na equação da difusão:
A(t) = 1D (piL)^2 + C e^-D (piL)^2 t
Simplificando:
sin(pi xL) = (1D (piL)^2) sin(pi xL) + C sin(pi xL)
Dividindo os dois lados por 1 = 1D (piL)^2 + C :
C = 1 - 1D (piL)^2
Essa é uma equação diferencial para u(x, t) = 1D (piL)^2 sin(pi xL) + (1 - 1D (piL)^2) e^-D (piL)^2 t sin(pi xL) . Ela pode ser resolvida como uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral dessa equação é:
Onde é uma constante determinada pela condição inicial. Usando , temos:
Comparando os coeficientes:
Então,
Portanto, a solução completa é:

Resposta

A solução da equação da difusão é:
u(x, t) = 1D (piL)^2 sin(pi xL) + (1 - 1D (piL)^2) e^-D (piL)^2 t sin(pi xL)

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