Resolva a equação da onda
, sujeita às condições:
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Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para u(x,t)? Justifique sua resposta; b) Determine as equações que regem as funções
; c) Resolva as EDOs para
e determine as contantes de integração; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para u(x,t)? Justifique sua resposta; b) Determine as equações que regem as funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra resolver a equação da onda:
Você também tem algumas condições pra seguir nas extremidades e no tempo. Aqui, a gente vai usar separação de variáveis e séries de Fourier pra achar a solução. Vamos precisar entender como dividir a função
em partes que dependem só de
e só de
.
Passo 2
a) Qual forma devemos utilizar para
? Justifique sua resposta.
Vamos supor que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de
e outra que depende só de
. Ou seja:
Essa forma é útil porque a equação da onda é linear e tem coeficientes constantes, o que permite a separação das variáveis. Além disso, as condições de contorno
e
sugerem que
vai ter funções que satisfazem essas condições, tipo funções trigonométricas.
Passo 3
b) Determine as equações que regem as funções
.
A gente come��a substituindo
na equação da onda. Isso satisfaz as condições de contorno porque
e
.
Substituindo na equação da onda:
Como as funções seno são ortogonais, cada termo no somatório deve ser igual a zero. Assim, a equação para cada
é:
Passo 4
c) Resolva as EDOs para
e determine as constantes de integração.
A equação que encontramos é uma equação diferencial ordinária harmônica:
Onde
. A solução geral dessa EDO é:
Agora, aplicamos as condições iniciais:
-
:
Isso implica que
e todos os outros
.
-
:
Isso implica que todos os
.
Então, a solução para
é:
Passo 5
d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Como só o
contribui, a solução final é:
Verificação:
- Equação da onda:
Substituindo
na equação da onda, você verá que ela satisfaz a equação porque as derivadas segunda em
e
vão cancelar conforme a solução escolhida.
- Condições de contorno:
- Condições iniciais:
Tudo confere certinho!
Resposta
A solução da equação da onda é:
Exercícios relacionados
Resolva a equação da difusão
, sujeita às condições:
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Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para u(x,t)? Justifique sua resposta; b) Com o conhecimento das soluções das questgões anteriores da lista, mostre que a forma escolhida satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Resolva a equação da difusão
, sujeita às condições:
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Com. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine a função que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Resolva a equação da onda
, sujeita às condições:
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Com. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine a função que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Esboce o gráfico da função dada no intervalo
.
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