Resolva a equação da onda partial^2 uc^2 partial t^2-partial^2 upartial x^2=0, sujeita às condições:
  1. u(0, t)=0
  2. u(L, t)=0
  3. u(x, 0)=sin (pi xL) ; x in(0, L)
  4. d u(x, 0)d t=0 ; x in(0, L)
    Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para u(x,t)? Justifique sua resposta; b) Determine as equações que regem as funções bn(t); c) Resolva as EDOs para bn(t) e determine as contantes de integração; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra resolver a equação da onda:
partial^2 uc^2 partial t^2 - partial^2 upartial x^2 = 0
Você também tem algumas condições pra seguir nas extremidades e no tempo. Aqui, a gente vai usar separação de variáveis e séries de Fourier pra achar a solução. Vamos precisar entender como dividir a função em partes que dependem só de e só de .

Passo 2

a) Qual forma devemos utilizar para u(x, t) = X(x) cdot T(t) ? Justifique sua resposta.
Vamos supor que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de . Ou seja:
Essa forma é útil porque a equação da onda é linear e tem coeficientes constantes, o que permite a separação das variáveis. Além disso, as condições de contorno e sugerem que vai ter funções que satisfazem essas condições, tipo funções trigonométricas.

Passo 3

b) Determine as equações que regem as funções sumn=1^infty ( d^2 bn(t)dt^2 + (npi cL)^2 bn(t) ) sin(npi xL) = 0 .
A gente come��a substituindo d^2 bn(t)dt^2 + (npi cL)^2 bn(t) = 0 na equação da onda. Isso satisfaz as condições de contorno porque e .
Substituindo na equação da onda:
Como as funções seno são ortogonais, cada termo no somatório deve ser igual a zero. Assim, a equação para cada é:

Passo 4

c) Resolva as EDOs para d^2 bn(t)dt^2 + omegan^2 bn(t) = 0 e determine as constantes de integração.
A equação que encontramos é uma equação diferencial ordinária harmônica:
bn(t) = An cos(omegan t) + Bn sin(omegan t)
Onde sumn=1^infty An sin(npi xL) = sin(pi xL) . A solução geral dessa EDO é:
sumn=1^infty Bn omegan sin(npi xL) = 0
Agora, aplicamos as condições iniciais:
  1. bn(t) = cos(npi c tL) se n = 1 :
bn(t) = 0 se n > 1
Isso implica que e todos os outros .
  1. :
Isso implica que todos os .
Então, a solução para é:

Passo 5

d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Como só o u(x, t) = cos(pi c tL) sin(pi xL) contribui, a solução final é:
Verificação:
  1. Equação da onda:
Substituindo na equação da onda, você verá que ela satisfaz a equação porque as derivadas segunda em e vão cancelar conforme a solução escolhida.
  1. Condições de contorno:
  1. Condições iniciais:
Tudo confere certinho!

Resposta

A solução da equação da onda é:
u(x, t) = cos(pi c tL) sin(pi xL)

Exercícios relacionados