Resolva a equação da onda , sujeita às condições:

  1. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para u(x,t)? Justifique sua resposta; b) Determine as equações que regem as funções ; c) Resolva as EDOs para e determine as contantes de integração; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra resolver a equação da onda:
Você também tem algumas condições pra seguir nas extremidades e no tempo. Aqui, a gente vai usar separação de variáveis e séries de Fourier pra achar a solução. Vamos precisar entender como dividir a função em partes que dependem só de e só de .

Passo 2

a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta.
Vamos supor que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de . Ou seja:
Essa forma é útil porque a equação da onda é linear e tem coeficientes constantes, o que permite a separação das variáveis. Além disso, as condições de contorno e sugerem que vai ter funções que satisfazem essas condições, tipo funções trigonométricas.

Passo 3

b) Determine as equações que regem as funções .
A gente come��a substituindo na equação da onda. Isso satisfaz as condições de contorno porque e .
Substituindo na equação da onda:
Como as funções seno são ortogonais, cada termo no somatório deve ser igual a zero. Assim, a equação para cada é:

Passo 4

c) Resolva as EDOs para e determine as constantes de integração.
A equação que encontramos é uma equação diferencial ordinária harmônica:
Onde . A solução geral dessa EDO é:
Agora, aplicamos as condições iniciais:
  1. :
Isso implica que e todos os outros .
  1. :
Isso implica que todos os .
Então, a solução para é:

Passo 5

d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Como só o contribui, a solução final é:
Verificação:
  1. Equação da onda:
Substituindo na equação da onda, você verá que ela satisfaz a equação porque as derivadas segunda em e vão cancelar conforme a solução escolhida.
  1. Condições de contorno:
  1. Condições iniciais:
Tudo confere certinho!

Resposta

A solução da equação da onda é:

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Resolva a equação da difusão , sujeita às condições:

  1. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para u(x,t)? Justifique sua resposta; b) Com o conhecimento das soluções das questgões anteriores da lista, mostre que a forma escolhida satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Resolva a equação da difusão , sujeita às condições:

  1. Com . Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine a função que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Resolva a equação da onda , sujeita às condições:

  1. Com . Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine a função que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Esboce o gráfico da função dada no intervalo .
.