Resolva a equação linear
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial linear . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações lineares:
. No nosso caso, subtraímos
de ambos os lados:
Aqui, identificamos que
e .
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
, que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Isso simplifica o lado esquerdo da equação para a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para
. Para a integral do lado direito, usamos a fórmula de integração de :
Aplicando essa fórmula com
e
:
Passo 6
Agora, temos:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é a constante de integração.