Resolva a equação linear .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial linear . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações lineares: . No nosso caso, subtraímos de ambos os lados:
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante , que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
Isso simplifica o lado esquerdo da equação para a derivada do produto :

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para . Para a integral do lado direito, usamos a fórmula de integração de :
Aplicando essa fórmula com e :

Passo 6

Agora, temos:
Multiplicando ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Resolva os problemas de valor inicial:
Verifique se as equações são exatas. Se não forem, tente encontrar uma função multiplicadora que não dependa de , mas apenas da variável dependente, que torne a equação exata. Se existir tal multiplicador, resolva a equação.
.
um tanque de volume dado contém uma mistura de água e sal onde a quantidade inicial de sal é . Água salgada com concentração constante de sal por litro de água está entrando no tanque a uma taxa constante de litros por minuto, a medida que este despeja a mesma quantidade de água pela mangueira de saída, mantendo o volume constante. Descreva o problema de valor inicial deste fluxo, encontrando uma express ao para a quantidade de sal na água por minuto, em função dos dados iniciais e do tempo.
Seja , onde . (a) Desenhe o campo