Resolva a equação linear d/y/dx = y + 5 sen(2 x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial linear . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações lineares: . No nosso caso, subtraímos y de ambos os lados:
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante mu(x), que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante mu(x):
Isso simplifica o lado esquerdo da equação para a derivada do produto :

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a x:
A integral do lado esquerdo simplifica para . Para a integral do lado direito, usamos a fórmula de integração de :
Aplicando essa fórmula com e :

Passo 6

Agora, temos:
Multiplicando ambos os lados por para isolar e^x:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é a constante de integração.

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