Resolva a equação linear
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial linear . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações lineares:
. No nosso caso, subtraímos
de ambos os lados:
Aqui, identificamos que
e .
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
, que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Isso simplifica o lado esquerdo da equação para a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para
. Para a integral do lado direito, usamos a fórmula de integração de :
Aplicando essa fórmula com
e
:
Passo 6
Agora, temos:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valor inicial:
Verifique se as equações são exatas. Se não forem, tente encontrar uma função multiplicadora
que não dependa de
, mas apenas da variável dependente, que torne a equação exata. Se existir tal multiplicador, resolva a equação.
.
um tanque de volume dado
contém uma mistura de água e sal onde a quantidade inicial de sal é
. Água salgada com concentração constante
de sal por litro de água está entrando no tanque a uma taxa constante de
litros por minuto, a medida que este despeja a mesma quantidade de água pela mangueira de saída, mantendo o volume constante. Descreva o problema de valor inicial deste fluxo, encontrando uma express ao para a quantidade de sal na água por minuto, em função dos dados iniciais e do tempo.
Seja
, onde
. (a) Desenhe o campo