Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial:
Esse problema está dentro da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias e envolve resolver uma equação separável. Para resolver, vamos separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis da equação
. Isso significa colocar todas as expressões com
de um lado e as com
do outro. Reescrevemos a equação da seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é em relação a
e a do lado direito em relação a
:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração. Então, temos:
Passo 4
Para encontrar o valor da constante
, usamos a condição inicial
. Substituindo
e
na equação:
Passo 5
Agora, substituímos o valor de
de volta na equação:
Vamos resolver para
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Verifique se as equações são exatas. Se não forem, tente encontrar uma função multiplicadora
que não dependa de
, mas apenas da variável dependente, que torne a equação exata. Se existir tal multiplicador, resolva a equação.
.
Vamos resolver ainda de outra maneira a equação linear de primeira ordem
.
Mostre que se é a função nula, então
.
Mostre que se
Resolva a equação linear
.
um tanque de volume dado
contém uma mistura de água e sal onde a quantidade inicial de sal é
. Água salgada com concentração constante
de sal por litro de água está entrando no tanque a uma taxa constante de
litros por minuto, a medida que este despeja a mesma quantidade de água pela mangueira de saída, mantendo o volume constante. Descreva o problema de valor inicial deste fluxo, encontrando uma express ao para a quantidade de sal na água por minuto, em função dos dados iniciais e do tempo.