Resolva os problemas de valor inicial:

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial:
Esse problema está dentro da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias e envolve resolver uma equação separável. Para resolver, vamos separar as variáveis e e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis da equação . Isso significa colocar todas as expressões com de um lado e as com do outro. Reescrevemos a equação da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é em relação a e a do lado direito em relação a :
A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é , onde é a constante de integração. Então, temos:

Passo 4

Para encontrar o valor da constante , usamos a condição inicial . Substituindo e na equação:

Passo 5

Agora, substituímos o valor de de volta na equação:
Vamos resolver para :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Verifique se as equações são exatas. Se não forem, tente encontrar uma função multiplicadora que não dependa de , mas apenas da variável dependente, que torne a equação exata. Se existir tal multiplicador, resolva a equação.
.
Vamos resolver ainda de outra maneira a equação linear de primeira ordem .
Mostre que se é a função nula, então .
Resolva a equação linear .
um tanque de volume dado contém uma mistura de água e sal onde a quantidade inicial de sal é . Água salgada com concentração constante de sal por litro de água está entrando no tanque a uma taxa constante de litros por minuto, a medida que este despeja a mesma quantidade de água pela mangueira de saída, mantendo o volume constante. Descreva o problema de valor inicial deste fluxo, encontrando uma express ao para a quantidade de sal na água por minuto, em função dos dados iniciais e do tempo.