Resolva os problemas de valor inicial: dy/dt = (y-1)^2; y(0) = -1

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial:
Esse problema está dentro da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias e envolve resolver uma equação separável. Para resolver, vamos separar as variáveis e e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis da equação . Isso significa colocar todas as expressões com de um lado e as com do outro. Reescrevemos a equação da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é em relação a e a do lado direito em relação a :
A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é , onde é a constante de integração. Então, temos:

Passo 4

Para encontrar o valor da constante , usamos a condição inicial . Substituindo e na equação:

Passo 5

Agora, substituímos o valor de de volta na equação:
Vamos resolver para :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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