Verifique se as equações são exatas. Se não forem, tente encontrar uma função multiplicadora que não dependa de , mas apenas da variável dependente, que torne a equação exata. Se existir tal multiplicador, resolva a equação.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para checar se a equação diferencial dada é exata. Se não for, a gente tenta encontrar uma função multiplicadora que depende só de para tornar a equação exata. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas e como identificar se uma equação é exata.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais padrão. A equação dada é:
Podemos colocar isso na forma :
Aqui, e .

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, a gente compara as derivadas parciais de em relação a e de em relação a . Se forem iguais, a equação é exata.
Calculando:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Integrando isso em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Então, a função potencial completa é:
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação é .

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Vamos resolver ainda de outra maneira a equação linear de primeira ordem .
Mostre que se é a função nula, então .
Resolva os problemas de valor inicial:
Resolva os problemas de valor inicial:
Resolva a equação linear .