Verifique se as equações são exatas. Se não forem, tente encontrar uma função multiplicadora
que não dependa de
, mas apenas da variável dependente, que torne a equação exata. Se existir tal multiplicador, resolva a equação.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para checar se a equação diferencial dada é exata. Se não for, a gente tenta encontrar uma função multiplicadora
que depende só de
para tornar a equação exata. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas e como identificar se uma equação é exata.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais padrão. A equação dada é:
Podemos colocar isso na forma
:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, a gente compara as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
. Se forem iguais, a equação é exata.
Calculando:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando isso em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Então, a função potencial completa é:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação é
.
Exercícios relacionados
Vamos resolver ainda de outra maneira a equação linear de primeira ordem
.
Mostre que se é a função nula, então
.
Mostre que se
Resolva os problemas de valor inicial:
Resolva os problemas de valor inicial:
Resolva a equação linear
.