Resolva a equação 2 log 10 x=1+log 10(x+1110). O conjunto solução de todos os valores reais é: 11

Passo 1

Vamos resolver a equação . Aqui, estamos lidando com logaritmos na base 10. Para resolver essa equação, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e técnicas de álgebra para isolar a variável .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os termos da equação. Sabemos que 2 log10 x = log10 x^2 pode ser reescrito usando a propriedade do logaritmo que diz que log10 x^2 = 1 + log10(x + 1110) . Assim:
Agora, a equação fica:

Passo 3

Vamos isolar os logaritmos no mesmo lado. Subtraímos log10 x^2 - log10(x + 1110) = 1 de ambos os lados:
log10 (x^2x + 1110) = 1
Usando a propriedade que , podemos combinar os logaritmos:

Passo 4

Agora, para eliminar o logaritmo, lembramos que se x^2x + 1110 = 10 , então x^2 = 10(x + 1110) . Portanto:
x^2 = 10x + 11
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática. Vamos rearranjá-la para a forma padrão:
x^2 - 10x - 11 = 0
Para resolver essa equação, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x = 10 pm raiz(-10)^2 - 4 cdot 1 cdot (-11)2 cdot 1 = 10 pm raiz100 + 442 = 10 pm raiz1442 = 10 pm 122
Isso nos dá duas soluções:
x = 10 + 122 = 11 e x = 10 - 122 = -1
Como logaritmos de números negativos não estão definidos nos números reais, descartamos .

Resposta

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