Suponha que ln a=2 e ln b=3. Determine: ln (a^2b^4)=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve logaritmos naturais. A gente tem que achar o valor de ln (a^2b^4), sabendo que ln a = 2 e ln b = 3. Para isso, vamos usar as propriedades dos logaritmos que nos ajudam a simplificar expressões assim.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos logaritmos: ln (mn) = ln m - ln n. Isso significa que o logaritmo da divisão é igual à subtração dos logaritmos.

Passo 3

Aplicando essa propriedade à nossa expressão, temos:
ln (a^2b^4) = ln a^2 - ln b^4

Passo 4

Agora, vamos usar outra propriedade dos logaritmos que diz que ln m^k = k ln m. Isso nos permite trazer os expoentes para fora do logaritmo.

Passo 5

Aplicando essa segunda propriedade, ficamos com:
ln a^2 = 2 ln a ln b^4 = 4 ln b
Então, substituindo na expressão anterior:
ln (a^2b^4) = 2 ln a - 4 ln b

Passo 6

Agora, sabemos que ln a = 2 e ln b = 3. Vamos substituir esses valores na expressão:
2 ln a - 4 ln b = 2 times 2 - 4 times 3

Passo 7

Calculando os produtos:
2 times 2 = 4 4 times 3 = 12
Então:
4 - 12 = -8

Resposta

Portanto, ln (a^2b^4) = -8.

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